Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Considere o conjunto M de matrizes 2 × 2 da forma a 1 1 b , com as seguintes operações de soma e multiplicação por escalar:

a 1 1 b ⊕ c 1 1 d = a + c 1 1 b + d

e

k * a 1 1 b = k a 1 1 b

Assinale a alternativa FALSA:

( a ) A soma de dois elementos de M está em M .

( b ) 1 ∙ u → = u → vale para todo u → ≠ 0 ∈ M .

( c ) Todo elemento de M possui inverso aditivo (negativo).

( d ) M é um espaço vetorial.

Passo 1

a Dando uma olhada rápida na soma que foi definida fica claro que a soma de dois elementos em M está sim em M , então essa é verdadeira.

b Vamos ver se é verdade:

1 * a 1 1 b = 1 ∙ a 1 1 b = a 1 1 b

Então sim, é verdade também!

c Inverso aditivo seria a relação que o 2 e o - 2 têm pensando na soma comum. Um mais o outro dá o elemento neutro da soma 0 . Bom essa, também é verdade, é só fazermos:

a 1 1 b ⊕ - a 1 1 - b = 0 1 1 0

Muito cuidado aqui!! Essa matriz que saiu da soma tem uns números aí que não são 0 né? Então ta errado isso aí!

Não ta não! Lembre-se que o elemento nulo da soma não tem que ter só zeros!! Basta que qualquer vetor somado a ele dê o próprio vetor:

a 1 1 b ⊕ 0 1 1 0 = a 1 1 b

Então de fato 0 1 1 0 é o elemento neutro da soma e essa letra está correta!

Passo 2

d Bom essa é a falsa obviamente, mas porque? Dá uma olhada no axioma 8 :

α + β v = α v + β v

γ + β a 1 1 b = γ a 1 1 b + β a 1 1 b

γ + β a 1 1 b = γ a 1 1 b + β a 1 1 b

γ a + β a 1 1 b = γ a + β a 1 1 2 b

Epa, não passou no nosso axioma né? Então não é um espaço vetorial =/

Resposta

Letra d

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