Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Dado o espaço vetorial ( V , ∓ , ∸ ) , foram definidas operações de soma e multiplicação por escalar, respectivamente:

1,1 , a ∓ 1,1 , b = 1,1 , a + b ,   a , b ∈ R

α ∸ 1,1 , b = 1,1 , α b ,   α , b ∈ R

Dentre as opções abaixo, marque a alternativa verdadeira:

a O elemento neutro da soma é o vetor 0,0 , 0

b O espaço vetorial V não possui inverso aditivo

c O elemento neutro da soma é 1,1 , 0

d O elemento neutro da multiplicação é α = 0 , pois 0 ⋅ 1,1 , a = ( 1,1 , 0 )

Passo 1

a Bom, nesse caso, podemos ver que ( 0,0 , 0 ) não está definido para o espaço vetorial!

Parando para observar a cara do espaço vetorial V   vemos que ele realiza somas e multiplicações com vetores que possuem o algarismo 1 nas duas primeiras coordenadas, então para pertencer a esse espaço vetorial o vetor tem que ser desse tipo:

( 1,1 , a )   c o m     a   ϵ   R

Assim, como ( 0,0 , 0 ) não pertence a V não é possível efetuar nenhuma operação com ele. Logo, a afirmativa é FALSA.

Passo 2

b Bom, o inverso aditivo é o número negativo que somado com o outro gera o elemento neutro da soma.

Acontece que TODO espaço vetorial possui um inverso aditivo. Se o conjunto de vetores não tivesse a propriedade do inverso aditivo não seria um espaço vetorial.

Mas como foi afirmado que V é um espaço vetorial então ele possui inverso aditivo, logo a afirmativa é FALSA.

Passo 3

c Bom, o elemento neutro seria o vetor que pertence a V que somado com outro resulta nesse outro:

u + 0 = u

Vamos pegar um vetor aleatório que pertença a V e verificar se o vetor ( 1,1 , 0 ) cumpre a função do elemento neutro da soma, beleza?!

Se pegarmos o vetor ( 1,1 , 1 ) , quem seria o elemento neutro?

1,1 , 1 + 1,1 , b = 1,1 , 1 ⇒

1,1 , 1 + b = 1,1 , 1 ⇒

1 + b = 1 ⇒ b = 0

Assim, o elemento neutro é de fato o ( 1,1 , 0 ) e então a afirmativa é VERDADEIRA.

Passo 4

d O elemento neutro da multiplicação seria um número real α   , tal que quando multiplicado com um vetor de V o resultado seria o próprio vetor. Assim,

α ⋅ u = u

Já nessa letra (d), temos:

α = 0 , pois 0 ⋅ 1,1 , a = ( 1,1 , 0 )

Ou seja, ao multiplicarmos um vetor de V obtemos outro vetor diferente do original. Nessa letra acontece isso:

α ⋅ u = v ,   v ≠ u

Então a afirmativa é FALSA.

Resposta

Letra c .

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