Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

(I) se V for um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno, T   :   V   →   V for um operador linear e existir uma base ortonormal B de V tal que a matriz [ T ] B   seja diagonal, então o

operador T será simétrico;

(II) para qualquer inteiro positivo n e qualquer matriz P   ∈   M n ( R ) , se as colunas de P formarem uma base ortonormal de R n com respeito ao produto interno usual, então P t P será igual à matriz identidade, em que P t denota a transposta da matriz P ;

(III) se V for um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno e se B   e   C forem bases ortonormais de V , então a matriz [ I ] C B será simétrica.

Assinale a alternativa correta:

(a) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;

(b) todas as afirmações são verdadeiras;

(c) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;

(d) apenas a afirmação (III) é verdadeira;

(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir qual das afirmações é verdadeira. Bem, vamos começar pela afirmação mais simples. A terceira

A afirmação diz que se V for um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno e se B   e   C forem bases ortonormais de V , então a matriz [ I ] C B será simétrica.

E aí, vocês acham que é verdade? Parece ser uma afirmação bem forte, né? Pois ela está dizendo que todas as matrizes de mudança de base entre bases ortonormais é simétrica. Vamos tentar dar um contra exemplo. Tome:

c a n   =   { ( 1,0 ) , ( 0,1 ) } e B = { ( 1 2 , 1 2 ) ,   ( 1 2 , - 1 2 ) }

Ambas as bases são ortogonais, mas temos que

[ I ] B ← c a n

= [ ( 1 2 , 1 2 ) T c a n , ( 1 2 , 1 2 ) T c a n ]

Que não é simétrica. Logo a afirmação (III) é falsa. E como ela é falsa, a única alternativa restante é a letra a ) . Ou seja, as duas primeiras afirmações são verdadeiras.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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