Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Q3. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita munido de um produto interno, B uma base de V , T : V → V um operador linear e A = T B . Assinale a alternativa correta:

a) se T for simétrico e B for ortonormal, então A será diagonal;

b) se T for simétrico e A não for simétrica, então B não será ortonormal;

c) se B for ortonormal, então A será simétrica e T será diagonalizável;

d) se A for diagonal, então B será formada por autovetores de T e T será simétrico;

e) se T for diagonalizável e A for diagonal, então B será ortonormal.

Passo 1

E aiii... tudo bem??

Nessa questão vamos analisar as alternativas e achar qual é a correta.

Pra isso vamos precisar lembrar da definição de operador linear simétrico: dizemos que o operador é simétrico se a matriz que o representa em uma base ortonormal é simétrica.

Também precisamos lembrar da propriedade: se T é um operador simétrico, então existe uma base ortonormal B tal que a matriz T na base   B é uma matriz diagonal.

Passo 2

a) Está errada, pois se T for simétrico e B for ortonormal, então A será simétrica. Não podemos garantir que seja diagonal.

b) Está certinha.

c) Está errada. A definição é que se T for simétrico e B for ortonormal, então A será simétrica. Tem que tomar cuidado com a ordem das afirmações na frase.

d) A ordem das afirmações também está trocada, quando comparada à propriedade.

e) Outra com a ordem das afirmações trocada.

Resposta

Letra b

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