Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Q13. Seja T : V → V um operador linear, em que V é um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as seguintes afirmações:

(i) se 4 for um autovalor de T com multiplicidade algébrica igual a 3, então existirá um subconjunto linearmente independente v , w , z de V com três elementos tal que T v = 4 v , T w = 4 w e T z = 4 z ;

(ii) se todas as raízes complexas do polinômio característico de T forem reais, então a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores de T será igual a 7;

(iii) se 20, 30 e 40 forem autovalores de T, a multiplicidade geométrica do autovalor 20 for igual a 3 e a multiplicidade algébrica do autovalor 30 for igual a 3, então a multiplicidade geométrica do autovalor 40 será igual a 1.

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações (ii) e (iii) são necessariamente verdadeiras;

b) apenas as afirmações (i) e (iii) são necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;

d) apenas a afirmação (iii) é necessariamente verdadeira;

e) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira.

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos precisar lembrar dos conceitos de multiplicidade algébrica e geométrica.

E também lembrar que a multiplicidade geométrica é sempre menor ou igual à algébrica.

Passo 2

(i) Falsa

(ii) Falsa

(iii) Falsa

Resposta

Letra E

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