Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Q1. Sejam V um espaço vetorial real de dimensão 3 munido de um produto interno ⋅ , ⋅ e B = v 1 , v 2 , v 3 uma base de V tal que:

v 1 , v 1 = 2 ,   v 2 , v 2 = 4 ,   v 1 , v 2 = 2 ,   v 1 , v 3 = 1 e v 2 , v 3 = 0 .

Se w 1 , w 2 , w 3 for a base ortogonal de V obtida de B pela aplicação do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, então w 3 será igual a:

a) v 3 - 1 2 v 3 ;

b) v 3 + 1 2 v 1 - v 2 ;

c) v 3 - v 1 + 1 2 v 2 ;

d) v 3 - 1 4 v 1 - 1 4 v 2 ;

e) v 3 - 1 2 v 1 .

Passo 1

Falaaa.. belezinha??

Nessa questão vamos executar o processo de ortogonalização de Gram-Shmidt.

Dada a vase { v 1 , v 2 , v 3 } , definimos w 1 , w 2 , w 3   por

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2

Passo 2

Repara que não temos especificamente v 1 , maaas temos v 1 , v 1 .

Como w 1 = v 1 . Vamos continuar chamando de v 1 onde for w 1 .

Então pra w 2 :

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

w 2 = v 2 - v 2 , v 1 v 1 , v 1 v 1

Como v 1 , v 1 = 2 e v 1 , v 2 = 2

w 2 = v 2 - 2 2 v 1

w 2 = v 2 - v 1

Para w 3 ,   temos:

w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2

w 3 = v 3 - v 3 , v 1 v 1 , v 1 v 1 - v 3 , v 2 - v 1 v 2 - v 1 , v 2 - v 1 v 2 - v 1

Passo 3

Vamos tratar esse monte de coisa aí separado.

Para v 3 , v 2 - v 1 :

v 3 , v 2 - v 1 = v 3 , v 2 - v 3 , v 1

Como v 1 , v 3 = 1 e v 2 , v 3 = 0 . Lembrando que v 2 , v 3 = v 3 , v 2 e v 1 , v 3 = v 3 , v 1

v 3 , v 2 - v 1 = 0 - 1

= - 1

Para v 2 - v 1 , v 2 - v 1 :

v 2 - v 1 , v 2 - v 1 = v 2 , v 2 - 2 v 1 , v 2 + v 1 , v 1

Como v 1 , v 1 = 2 , v 1 , v 2 = 2 e v 2 , v 2 = 4 :

v 2 - v 1 , v 2 - v 1 = 4 - 2 2 + 2

= 2

Passo 4

Voltando:

w 3 = v 3 - v 3 , v 1 v 1 , v 1 v 1 - v 3 , v 2 - v 1 v 2 - v 1 , v 2 - v 1 v 2 - v 1

w 3 = v 3 - v 3 , v 1 v 1 , v 1 v 1 - ( - 1 ) 2 v 2 - v 1

w 3 = v 3 - v 3 , v 1 v 1 , v 1 v 1 + 1 2 v 2 - v 1

Como v 3 , v 1 = 1 e v 1 , v 1 = 2 :

w 3 = v 3 - 1 2 v 1 + 1 2 v 2 - v 1

w 3 = v 3 - v 1 + 1 2 v 2

Letra c

Resposta

Letra c

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