Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Q14. Sejam a ,   b ∈ R e seja T : R 3 → R 3 o operador linear tal que

T c a n = 1 1 b 2 1 2 1 a 2 ,

Em que can denota a base canônica de R 3 . Temos que o subespaço

x , y , z ∈ R 3 : x + y + z = 0  

É invariante por T se, e somente se:

a) a = - 1 e b = 0 ;

b) a = 0 e b = - 1 ;

c) a = 1 e b = 2 ;

d) a = 2 e b = 0 ;

e) a = 2 e b = 3 .

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão queremos achar os valores de a e b para que o subespaço seja invariante por T .

Pra isso temos que lembrar que o subespaço V é invariante por T se:

T V ⊂ V

Passo 2

Primeiro vamos achar uma representação pra esse subespaço.

Isolando o z :

z = - x - y

Então:

x , y , z = x , y , - x - y

= x 1,0 , - 1 + y 0,1 , - 1

= s p a n 1,0 , - 1 , 0,1 , - 1

Passo 3

Para ser invariante:

1 1 b 2 1 2 1 a 2 1 0 - 1 = α 1 0 - 1 + β 0 1 - 1

1 1 b 2 1 2 1 a 2 1 0 - 1 = α β - α - β

Chegamos no sistema:

1 - b = α 2 - 2 = β 1 - 2 = - α - β

Resolvendo, achamos:

b = 0

Passo 4

Também temos que fazer pro outro vetor:

1 1 b 2 1 2 1 a 2 0 1 - 1 = α 1 0 - 1 + β 0 1 - 1

1 1 b 2 1 2 1 a 2 0 1 - 1 = α β - α - β

Chegamos no sistema:

1 = α 1 - 2 = β a - 2 = - α - β

Resolvendo:

a = 2

Letra d

Resposta

Letra d

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