Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Q11. Sejam V um espaço vetorial complexo de dimensão finita e T : V → V   um operador linear. Considere as seguintes afirmações:

(i) se existir uma base B de V tal que a matriz T B seja real, então o polinômio característico de T terá coeficientes reais;

(ii) se existirem b ,   c ∈ C tais que b 2 ≠ 4 c e o polinômio característico de T seja p T t = t 2 + b t + c , então T será diagonalizável;

(iii) se 1 + i for um autovalor de T , então 1 - i também será um autovalor de T .

Assinale a alternativa correta:

a) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

b) apenas as afirmações (i) e (iii) são necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;

d) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras;

e) apenas a afirmação (i) é necessariamente verdadeira.

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos analisar as afirmações e dizer quais são necessariamente verdadeiras.

Passo 2

i) É verdadeira. O polinômio característico é obtido pelo determinante det ⁡ T - λ I e, como não tem nenhum número complexo, os coeficientes serão reais.

ii) É falsa. Essa condição valeria se fosse dito que o operador linear é simétrico. Daí a gente poderia usar a informação que se os autovalores são reais, então a matriz é diagonalizável.

iii) É verdadeira. Sempre que um dos autovalores é complexo, o seu conjugado também é autovalor.

Letra b

Resposta

Letra b

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