Exercícios Resolvidos de Fluxo de Campo Elétrico

Um campo elétrico não-uniforme é direcionado ao longo do eixo x em todos os pontos no espaço. A magnitude do campo varia com x , mas não com respeito a y ou z . O eixo de uma superfície cilíndrica, com 0,80   m de comprimento e 0,20   m de diâmetro, é alinhado paralelamente ao eixo x , como mostrado na figura abaixo. Os campos elétricos E → 1 e   E → 2 , nas extremidades da superfície cilíndrica, têm magnitudes de 6000   N / C e 1000   N / C , respectivamente, e são dirigidos como mostrado. Quanto vale, aproximadamente, o fluxo elétrico que passa pela superfície cilíndrica?

(a) + 160   N ⋅ m 2 / C

(b) + 350   N ⋅ m 2 / C

(c) 0,00   N ⋅ m 2 / C

(d)   - 160   N ⋅ m 2 / C

(e) - 350   N ⋅ m 2 / C

Passo 1

Primeiramente, vamos lembrar a definição do fluxo de um campo elétrico.

O fluxo ϕ de um campo elétrico   E → por uma superfície genérica S é dada por

ϕ =   ∬ S E → ⋅ n ^   d S

sendo n ^ um vetor unitário normal ao elemento infinitesimal de área d S .

ATENÇÃO!! Esta não é a lei de Gauss!! A lei de Gauss se refere ao fluxo do campo elétrico por uma superfície FECHADA!!

Aplicaremos essa definição nas tampas e na lateral da superfície cilíndrica para determinar o fluxo total. SIMBORA!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O fluxo total ϕ t do campo elétrico   E → pela superfície cilíndrica é dado por

ϕ t =   ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ l a t e r a l

com ϕ 1 e ϕ 2 os fluxos do campo elétrico  E → pelas superfícies S 1 e S 2 , respectivamente, dados por

ϕ 1 =   ∬ S 1 E → ⋅ n ^ 1   d S                     e                     ϕ 2 =   ∬ S 2 E → ⋅ n ^ 2   d S

e ϕ l a t e r a l o fluxo do campo elétrico   E → pela lateral da superfície cilíndrica ( S L ) , dado por

ϕ l a t e r a l =   ∬ S L E → ⋅ n ^ L   d S

Os vetores n ^ 1 , n ^ 2 e   n ^ L são vetores unitários normais às superfícies S 1 , S 2 e S L , respectivamente, como mostrado na figura do enunciado.

Para continuar, devemos fazer uma análise: o enunciado diz que o campo elétrico é não-uniforme, mas não depende de y nem de z , apenas de x . Isso significa que em todas as superfícies paralelas ao plano y z (tampas da superfície cilíndrica), o campo elétrico possui o mesmo valor, isto é, o mesmo módulo.Isto não significa que o campo é constante!!! O campo elétrico pode ter direções e sentidos diferentes.

Resumindo: não sabemos a direção e o sentido do campo elétrico sobre as tampas (sabemos apenas os módulos, dados no enunciado). Além disso, não sabemos NADA sobre o campo elétrico dentro da superfície cilíndrica (nem direção, nem sentido e nem módulo)!!

UÉ PAULO!! MAS ENTÃO COMO A GENTE FAZ ?!??!

Calma! A gente vai ver como faz no próximo passo. 😊

Passo 3

Para contornarmos todos os problemas que apareceram, faremos uma aproximação (por isso que o enunciado diz “aproximadamente”, sacou?).

Vamos supor que o campo elétrico na região do cilindro seja apenas na direção x ^ , isto é,

E → ≅ E x x ^

Note que essa aproximação não é tão absurda. Como os campos nas superfícies de S 1 e S 2 são paralelos ao eixo x , então é de se esperar que o comportamento médio do campo elétrico seja apenas na direção   x ^ .

Mas Paulo, no que essa aproximação ajuda? Bom.. ela RESOLVE A PARADA!! Vamos ver como.

Vejamos novamente a figura do enunciado.

Na superfície S 1 , temos que o ângulo entre  n ^ 1 e   x ^ é 180 ° . Assim,

E → ⋅ n ^ 1 ≅ E → S 1     x ^ ⋅ n ^ 1 ≅ E → S 1 × 1 × 1 × cos ⁡ 180 ° ≅ -   E → S 1

com E → S 1 o módulo do campo elétrico na superfície S 1 .

Na superfície S 2 , temos que o ângulo entre  n ^ 2 e   x ^ é 0 ° . Assim,

E → ⋅ n ^ 2 ≅ E → S 2     x ^ ⋅ n ^ 2 ≅ E → S 2 × 1 × 1 × cos ⁡ 0 ° ≅   E → S 2

com E → S 2 o módulo do campo elétrico na superfície S 2 .

Na superfície S L , temos que o ângulo entre  n ^ L e   x ^ é 90 ° . Assim,

E → ⋅ n ^ L ≅ E → S 1     x ^ ⋅ n ^ L ≅ E → S 1 × 1 × 1 × cos ⁡ 90 ° ≅ 0

Desta forma, temos que os fluxo ϕ 1 , ϕ 2 e ϕ l a t e r a l são dados por

ϕ 1 =   ∬ S 1 E → ⋅ n ^ 1   d S                     ;                     ϕ 2 =   ∬ S 2 E → ⋅ n ^ 2   d S                     e                     ϕ l a t e r a l =   ∬ S L E → ⋅ n ^ L   d S

ϕ 1 =   ∬ S 1 -   E → S 1   d S                     ;                     ϕ 2 =   ∬ S 2 E → S 2   d S                     e                     ϕ l a t e r a l =   ∬ S L 0   d S

ϕ 1 = - E → S 1   ∬ S 1   d S                   ;                     ϕ 2 = E → S 2 ∬ S 2   d S                     e                     ϕ l a t e r a l = 0

ϕ 1 = - E → S 1 × A 1                     ;                     ϕ 2 = E → S 2 × A 2                     e                     ϕ l a t e r a l = 0

sendo A 1 e A 2 as áreas das superfícies S 1 e S 2 , respectivamente. Viu como a aproximação resolveu?? AHAHAHA

Para a gente continuar, precisamos das áreas A 1 e A 2 . Vamos obtê-las no próximo passo.

Passo 4

Vamos agora determinar as áreas das tampas da casca cilíndrica.

Vemos que as superfícies são círculos. Assim,

A 1 = A 2 = π   r 2 = π D 2 2 = π D 2 4

sendo D o diâmetro dos círculos.

O enunciado diz que D = 0,20   m . Logo,

A 1 = A 2 = π D 2 4 = π 0,20   m 2 4 ≅ 0,031416   m 2

No próximo passo determinaremos os fluxos ϕ 1 e ϕ 2 , além do fluxo total ϕ t o t a l . Bora gente!!

Passo 5

Vamos determinar cada fluxo agora.

O enunciado diz também que E → 1 = 6000   N / C e E → 2 = 1000   N / C . Logo, os fluxos ϕ 1 e ϕ 2 são dados por

ϕ 1 = - E → 1 × A 1                     e                     ϕ 2 = E → 2 × A 2

ϕ 1 ≅ - 6000   N / C   × 0,031416   m 2                     e                     ϕ 2 = 1000   N / C   × 0,031416   m 2

ϕ 1 ≅ - 188 , 5   N ⋅ m 2 / C                     e                   ϕ 2 ≅ 31,4   N ⋅ m 2 / C

Com isso, podemos determinar o fluxo total. Sabemos que o mesmo é dado por

ϕ t o t a l =   ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ l a t e r a l

Portanto, como ϕ l a t e r a l = 0 , temos

ϕ t o t a l ≅ - 188,5   N ⋅ m 2 C + 31,4   N ⋅ m 2 C + 0   N ⋅ m 2 C

ϕ t o t a l ≅ - 157,1   N ⋅ m 2 C  

Analisando todas as alternativas, vemos que a alternativa que mais se aproxima de nossa resposta é a letra ( d ) .

Resposta

L e t r a   ( d )

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