Exercícios Resolvidos de Fluxo de Campo Elétrico

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Enunciado

Esse enunciado utiliza os dados de matrícula dos alunos, mas nós do RA adaptamos para você!

Para calcular o campo elétrico de três distribuições de carga distintas, um aluno utiliza as superfícies gaussianas (em azul) contidas nas Figuras 1 a 3.

Para todas as geometrias acima, considere que a carga está uniformemente distribuída (todas as distribuições possuem densidade volumétrica de carga   ρ 0 constante). Calculando o fluxo do campo elétrico que atravessa cada superfície gaussiana em função da distância r , o aluno montou os seguintes gráficos:

Com base nestas informações:

a) Associe cada gráfico a sua respectiva geometria de carga (cilíndrica, esférica, planar).

Sendo ϕ 0 = 12,4 ×   10 3 e R = 1 c m .

b) Calcule o módulo do campo elétrico E 0 na superfície da distribuição de carga.

c) Qual o valor de ρ 0 ? ( U s e   ε 0 = 8,85 ⋅ 10 12 )

d) (1.0) Qual seria a nova forma do fluxo Φ ( r ) , se ao invés de uma densidade de carga constante tivéssemos a densidade variável dada por:

ϕ = 0 ,   r < r 0 ρ 0 R r ,   r 0 ≤ r < R

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você aqui!

Letra (a):

Temos que o fluxo é o produto do campo pela área, certo?

E já estamos sabemos que o campo elétrico produzido por uma esfera quando r > R cai com 1 / r 2 , então temos que nesse caso o fluxo é:

Φ = E → ⋅ A → ≃ r

Então o fluxo aqui é linear com r .

Já o campo fora de um cilindro cai com 1 / r , então pensando da mesma forma, o fluxo vai com r 2 e a simetria linear com r 3 .

Assim a ordem dos gráficos é: esférica, cilíndrica, planar.

Passo 2

Letra (b):

Pela lei de Gauss temos:

E 0 . A = ϕ = q i n t ϵ 0

A carga interna é:

q i n t = ρ 0 V = 4 3 π R 3

E temos que na superfície esférica a área gaussiana é 4 π R 2 , daí temos:

E 0 = 4 3 π R 3 ρ 0 4 π R 2 ϵ 0

E 0 = π R 3 ϵ 0 ρ 0

E 0 = π ρ 0 3 ϵ 0

Passo 3

Letra (c):

E de novo da lei de Gauss temos:

ϕ = q i n t ϵ 0 = 4 3 ϵ 0 π R 3 ρ 0

Daí ρ 0 é:

ρ 0 = 3 ϵ 0 ϕ 4 π R 3 = 3.8,85 ⋅ 10 - 12 . 12,4 ×   10 3 4 π 1 × 10 - 3 3 = 26,19

Passo 4

Letra (d):

Agora a densidade não é mais constante, e precisamos calcular novamente a carga interna. Daí temos:

q i n t = ∫ r 0 R ρ 0 R r 4 π   r 2 d r = 4 π ρ 0 R ln ⁡ R r 0

E o novo fluxo é:

ϕ = q i n t ϵ 0 = 4 π ρ 0 R ϵ 0 ln ⁡ R r 0

Resposta

( a ) :   e s f é r i c a ,   c i l í n d r i c a ,   p l a n a r

( b ) E 0 = π ρ 0 3 ϵ 0

c 26,19

( d ) ϕ = 4 π ρ 0 R ϵ 0 ln ⁡ R r 0

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