Exercícios Resolvidos de Fluxo de Campo Elétrico

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Enunciado

7 . Uma esfera isolante de raio R está carregada de forma que seu hemisfério superior possui uma densidade volumétrica de carga constante e positiva ρ enquanto seu hemisfério inferior possui uma densidade volumétrica de carga constante e negativa - ρ . Considere uma superfície imaginária e fechada S na forma de um hemisfério de raio r > R , como mostra a figura abaixo. Esta superfície é composta por uma superfície hemisférica aberta S 1 , que define o hemisfério, e pela base plana S 2 , que divide as regiões de carga positiva e negativa da esfera.

Sobre essa situação, considere as afirmativas abaixo:

( I ) O campo elétrico produzido pela esfera tem módulo constante em todos os pontos da superfície hemisférica aberta S 1 .

( I I ) O campo elétrico produzido pela esfera é perpendicular a todos os pontos da base plana S 2 .

( I I I ) O fluxo do campo elétrico produzido pela esfera através de S vale 2 ρ π r 3 3 ϵ 0 .

É (são) VERDADEIRA(S) a(s) afirmativa(s):

Escolha uma opção:

a .   I I I

b . Nenhuma delas

c .   I ,   I I e I I I

d .   I e I I I

e .   I e I I

f .   I I

g .   I I e I I I

h .   I

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para podermos avaliar as afirmações temos que entender como o campo elétrico da esfera se comporta.

Dentro dela o campo é nulo e a gente pode ver isso usando a lei de Gauss para usa superfície esférica de raio r 0 < R , teríamos:

Φ E = ∫ S E → ⋅ d A → = q i n t ϵ 0

E a carga interna a essa superfície é zero já que temos densidades de carga iguais e de cargas opostas.

Fora da esfera teremos linhas de campo que saem da parte positiva e vão para parte negativa, então campo fora da esfera, mas se usarmos uma superfície fechada esférica (por conveniência) e calcularmos o fluxo usando a lei de Gauss vemos que ele é nulo.

Então cada hemisfério da esfera produz um campo igual e uniforme, como se fosse uma esfera com densidade de carga + ρ ou - ρ .

Com isso podemos avaliar as afirmações.

Passo 2

Vamos avaliar a primeira afirmação.

Como já vimos o campo elétrico fora da esfera é se comporta como se fosse de uma esfera com densidade de cara ρ e um campo desse tipo tem o mesmo módulo para distâncias iguais a superfície, então de certa maneira o módulo dele é constante em toda superfície S 1 .

Então a afirmativa é verdadeira.

Passo 3

Vamos analisar a segunda afirmação.

No passo um vimos que o campo dentro da esfera é zero, então não faz sentido ele ter uma direção dentro dela.

Logo essa afirmação é falsa.

Passo 4

Para calcular o fluxo através de S teríamos que somar o fluxo através de S 1 e S 2 .

Já podemos dizer que através de S 2 é zero já que não temos campo dentro da esfera, então o fluxo através de S é igual ao de S 1 .

O fluxo de S 1 vai ser igual a metade do fluxo através de uma superfície esférica de raio r e densidade + ρ , pela lei de Gauss, temos:

Φ E = ∫ S E → ⋅ d A → = q i n t ϵ 0

⇒ Φ E = q i n t ϵ 0

A carga interna é igual a densidade de carga vezes o volume da esfera, assim:

q i n t = ρ 4 3 π R 3

Então:

Φ E = ρ ϵ 0 4 3 π R 3

Como estamos interessados em metade disso, temos:

Φ S 1 = 2 ρ π R 3 3 ϵ 0

Então a afirmação é verdadeira.

Então as únicas afirmações verdadeiras são a I e I I I , então nossa alternativa vai ser a letra d .

Resposta

d .   I e I I I

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