Exercícios Resolvidos de Lançamento Horizontal

O brasileiro, radicado na Suíça, Laso Schaller detém o recorde mundial de salto livre em uma cachoeira. Na tentativa que levou ao recorde mundial Laso saltou uma cachoeira com cerca de 58,8   m de altura. Considere que para uma nova tentativa, Laso irá mergulhar de um penhasco com uma plataforma de salto horizontal, com velocidade horizontal ( v → 0 ) como mostra a figura abaixo.

Suas respostas devem ser dadas em função dos dados do problema: D , H , g .

a) Qual deve ser o módulo mínimo de sua velocidade imediatamente após saltar do topo do penhasco para que não se choque com um degrau no pé do rochedo, com largura D e altura H abaixo do topo do penhasco?

b) Quanto tempo Laso irá levar para atingir a superfície da água?

c) Qual o vetor velocidade ( v → ) de Laso no instante em que ele toca a superfície da água? Considere a velocidade inicial de Laso aquela encontrada no item a). Sua resposta deve estar em termos dos vetores unitários mostrados na figura.

Passo 1

Como o Laso salta do penhasco com uma velocidade na horizontal v → 0 , ele vai realizar um Lançamento Horizontal.

Para analisar esse tipo de movimento, a gente trabalha separadamente com o movimento ao longo da direção i ^ (horizontal) e j ^ (vertical). Isso porque a única força atuando é a força peso P na vertical...

Assim, o movimento ao longo da vertical será um Movimento Uniformemente Variado (aceleração constante), enquanto o movimento na horizontal será um Movimento Uniforme (velocidade constante).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra (a), queremos a velocidade mínima para que ele alcance a água.

Para o Laso alcançar a água, ele tem que fazer no mínimo uma trajetória assim:

Ou seja, ele precisa percorrer na horizontal uma distância igual a D , enquanto na vertical ele desce uma distância igual a H .

Passo 3

Como ele já definiu que a direção positiva no eixo vertical é para cima, é conveniente colocar a origem nesse ponto aqui:

Agora, vamos escrever a equação da posição para cada um dos eixos.

Passo 4

No eixo x , temos que sua velocidade vai se manter a mesma ao longo de todo o movimento (MU), então podemos usar:

S = S 0 + v t

Como sua posição inicial S 0 em x é zero, temos:

x t = 0 + v 0 t

x t = v 0 t

No eixo y , temos que o Laso sofre uma aceleração constante (MUV), então podemos usar:

S = S 0 + v y 0 t + a t 2 2

Agora muito cuidado com o sentido da aceleração!

Como a aceleração da gravidade aponta para baixo, ela entra como negativa. Além disso, sua velocidade inicial em y é nula, enquanto sua posição inicial é H :

y t = H + 0 - g t 2 2

y t = H - g t 2 2

Passo 5

Agora, a ideia é que o tempo de queda é o mesmo tempo para percorrer uma distância D na horizontal. Então, se chamarmos o tempo de t q , temos que na horizontal:

x ( t q ) = v 0 t q

D = v 0 t q

v 0 = D t q

Podemos tirar outra relação com o movimento na vertical:

y t q = H - g t q 2 2

Como ele termina o movimento na altura zero, y t q = 0 :

0 = H - g t q 2 2

t q 2 = 2 H g

t q = 2 H g

Substituindo esse valor na primeira relação, temos:

v 0 = D 2 H g

Podemos inverter o denominador e “entrar” com o D na raiz elevado ao quadrado:

v 0 = D 2 g 2 H

Esse é o valor mínimo de velocidade necessária para que o Laso chegue na água.

Passo 6

Na letra (b), queremos o tempo que leva para o Laso atingir a água, ou seja, o próprio t q .

Já achamos uma expressão para ele no item anterior, né?

t q = 2 H g

Protinho, como H e g são dados do enunciado, já temos nossa resposta.

Passo 7

Na letra (c), queremos o vetor velocidade quando ele chega na água.

Bom, estamos analisando os movimentos separadamente (vertical e horizontal). O vetor velocidade vai ser a combinação das velocidades dos dois eixos:

v → será a soma vetorial desses dois caras aí:

v → = v → x + v → y

Passo 8

Mas quem são os vetores v → x e v → y ?

O módulo de v x nós já temos...

Como a velocidade na horizontal é a mesma durante todo o movimento, v x será igual à velocidade horizontal inicial v 0 :

v x = D 2 g 2 H

Já a sua direção, é na horizontal, ou seja na componente i ^ :

v → x = D 2 g 2 H i ^

Já a velocidade na vertical, podemos calcular com a expressão de velocidade para um MUV:

v = v 0 + a t

Lembrando de que a aceleração é negativa no nosso referencial:

v y = 0 - g t q

Substituindo t q , temos:

v y = - g 2 H g

Passando o g para dentro da raiz elevado ao quadrado, temos:

v y = - 2 H g 2 g

v y = - 2 H g

Agora, podemos escrever como vetor na direção j ^ :

v → y = - 2 H g   j ^

Por fim, o vetor velocidade no momento em que ele atinge a água será:

v → = D 2 g 2 H i ^ - 2 H g   j ^

Resposta

(a)

v 0 = D 2 g 2 H

(b)

t q = 2 H g

(c)

v → = D 2 g 2 H i ^ - 2 H g   j ^

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