Exercícios Resolvidos de Lançamento Horizontal

Uma partícula se move sobre uma calha horizontal lisa com velocidade constante de módulo desconhecida. A calha horizontal transforma-se, suavemente, a partir do ponto A, em uma calha semicircular de raio R, tal como indicado na figura. Após percorrer toda a calha semicircular, a partícula deixa a calha no ponto B, que se encontra exatamente acima do ponto A, com velocidade horizontal de módulo v0 e cai de volta na calha horizontal em um ponto P. As calhas estão orientadas de modo que todo o movimento da partícula se passa num mesmo plano vertical. Considere desprezível o atrito entre a partícula e as calha em todos os momentos (entre os pontos A e B). Considere como dados do problema R , v 0 e a aceleração da gravidade g .

a) Faça um diagrama indicando as forças que atuam na partícula de massa m quando ela passa pelo ponto Q, indicado na figura, localizado na calha semicircular.

b) Calcule a distância entre os pontos A e P.

c) Determine o vetor velocidade da partícula no instante imediatamente anterior a atingir novamente a calha horizontal, no ponto P. Indique claramente qual sua escolha para o sistema de eixos.

Passo 1

Na letra (a), queremos as forças sobre a partícula no ponto Q .

Quando a partícula passa pelo ponto Q , temos a força peso P → que sempre aponta para baixo e também a força normal N → que a calha exerce sobre a partícula na direção perpendicular à superfície de contato:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra (b), queremos a distância entre A e P .

Essa distância é nada mais do que o alcance da partícula nesse lançamento horizontal que ela realiza a partir de A .

Vamos chamar essa distância de d .

Para descobrí-la, precisamos analisar tanto o movimento na vertical quanto na horizontal.

A partícula sofre apenas a aceleração da gravidade, que aponta verticalmente para baixo.

Assim, o movimento na vertical terá uma aceleração constante, enquanto o movimento na horizontal não terá aceleração nenhuma:

v e r t i c a l → M U V

h o r i z o n t a l → M U

Passo 3

Olhando para o movimento na horizontal, temos que sua velocidade é constante (movimento uniforme).

Assim podemos usar:

S x = S x 0 + v x t

Sua posição inicial em x está na origem S x 0 = 0 e sua velocidade na horizontal é o próprio v 0 :

S x = v 0 t

Então, para descobrir a distância d que a partícula percorre na horizontal, basta descobrir o tempo que dura o movimento e substituir nessa expressão.

Passo 4

Olhando para o movimento na vertical, temos uma aceleração constante ( g ), então podemos usar:

S y = S y 0 + v y 0 + a t 2 2

Sua posição inicial em y é igual a duas vezes o raio do looping:

S y 0 = 2 R

Sua velocidade inicial em y é nula:

v y 0 = 0

Além disso, a sua aceleração é a aceleração da gravidade e aponta no sentido negativo do eixo y (para baixo).

Juntando tudo, ficamos com:

S y = 2 R + - g t 2 2

S y = 2 R - g t 2 2

Passo 5

Queremos saber o tempo até a partícula atingir o chão.

Então, vamos substituir a posição em y por 0 (altura do chão):

S y = 2 R - g t 2 2

0 = 2 R - g t 2 2

g t 2 2 = 2 R

t 2 = 4 R g

t = 4 R g

t = 2 R g

Passo 6

Agora que sabemos o tempo que a partícula leva até o chão, basta substituir na equação de movimento na horizontal para descobrir a distância d :

S x = v 0 t

d = v 0 2 R g

d = 2 v 0 R g

Passo 7

Na letra (c), queremos saber o vetor velocidade no momento em que a partícula chega ao chão.

A partícula terá uma componente horizontal e uma vertical:

A componente horizontal nós já conhecemos pois ela não muda durante o movimento (aceleração apenas na vertical), então:

v x = v 0

Já a componente vertical, nós vamos calcular.

A velocidade no MUV é calculada com:

v y = v y 0 + a t

v y = 0 - g t

Substituindo o intervalo de tempo que já achamos no PASSO 5, temos:

v y = - g 2 R g

Passando g para dentro da raiz elevado ao quadrado:

v y = - 2 R g 2 g

v y = - 2 R g

Ahh e esse sinal de negativo é uma questão de referencial...

Nosso sistema de eixos é com y para cima, então a velocidade v y será negativa pois está para baixo.

Agora é só juntar as componentes e já temos nosso vetor velocidade:

v → = v x i ^ + v y j ^

v → = v 0 i ^ - 2 R g j ^

Resposta

(a)

(b) d = 2 v 0 R g

(c) v → = v 0 i ^ - 2 R g j ^

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