Exercícios Resolvidos de Lançamento Horizontal

Um estudante chuta um rojão do alto de uma plataforma de altura h acima do solo. O rojão é lançado com uma velocidade inicial horizontal de módulo v . Entretanto, um forte vento que sopra paralelo ao solo faz com que o rojão tenha uma aceleração constante a → = - a x î - g j ^ , sendo a x o módulo da componente horizontal da aceleração. Isso acaba por fazer com que o rojão caia no chão diretamente abaixo do estudante. Utilize o sistema de coordenadas indicado na figura e dê suas respostas em termos de v , a x e g .

a) Determine a altura h da plataforma.

b) Determine o vetor velocidade do rojão imediatamente antes dele atingir o solo. Sua resposta deve ser dada em termos dos vetores unitários indicados na figura.

c) Qual é o alcance máximo, na horizontal, atingido pelo rojão em relação à plataforma?

Passo 1

Opa! Vamos lá!

Quando temos um movimento desse tipo (de lançamento) a gente analisa as duas direções separadamente.

Na direção x, temos:

v 0 x = v

a x = - a x

Na direção y, temos:

v 0 y = 0

a y = - g

Então, olha só, ambos tem aceleração cujo módulo é constante, então temos, um MUV em ambas direções.

Ok até aqui?

Vamos pra letra (a).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Determine a altura h da plataforma.

A altura é o que? É uma posição, certo? E é uma posição na direção vertical. Então vamos usar a equação da posição em função do tempo, para a direção y:

y = y 0 + v 0 y t + 1 2 a y t 2

O rojão parte da altura h , então y 0 = h . A altura final dele é y = 0 , pois ele vai chegar no chão.

0 = h + 0   t + 1 2 - g t 2

Já substitui umas informações que falamos lá no passo 1.

Então beleza, temos que:

h = g t 2 2

Eita...pra acharmos a altura, temos que achar o tempo t . Mas que tempo é esse?

É o tempo correspondente a queda desde a altura h até o chão. Então esse é o tempo de queda t q .

h = g t q 2 2

bora achar esse tempo de queda!

Pra isso, vamos analisar o movimento na direção horizontal.

Passo 3

No eixo x, temos um MUV. Então a equação da posição em função do tempo é:

x = x 0 + v 0 x t + 1 2 a x t 2

O enunciado fala pra gente que o rojão cai no chão diretamente abaixo do estudante, ou seja:

x = x 0 = 0

Temos também que:

v 0 x = v

e

a x = - a x

Substituindo isso tudo, temos:

x = x 0 + v 0 x t + 1 2 a x t 2

0 = 0 + v t + 1 2 ( - a x ) t 2

Isolando o t :

0 = t v - 1 2 a x t

A solução (não nula) dessa equação é:

t = 2 v a x

Show de bola! Esse é o tempo necessário para o rojão cair.

t = 2 v a x = t q

Agora, vamos substituir isso na nossa equação para h :

h = g t q 2 2

h = g 2 v a x 2   2

resolvendo isso:

h = 2 v 2 g a x 2

Uhuul!!

Vamos pra próxima!

Passo 4

b) Determine o vetor velocidade do rojão imediatamente antes dele atingir o solo. Sua resposta deve ser dada em termos dos vetores unitários indicados na figura.

O vetor velocidade é dado por:

v → = v x i ^ + v y j ^

Temos um MUV em ambas as direções, então a velocidade é dada por:

v x = v 0 x + a x t

v y = v 0 y + a y t

Como queremos o vetor velocidade imediatamente antes do rojão tocar o solo, temos que usar o tempo de queda para achar as componentes v x e v y .

Substituindo nossos dados, temos:

v x = v 0 x + a x t

v x = v + ( - a x ) 2 v a x

v x = - v

E para v y :

v y = v 0 y + a y t

v y = 0 + ( - g ) 2 v a x

v y = - 2 v g a x

Então o vetor velocidade imediatamente antes do rojão tocar o solo é:

v → = - v i ^ - 2 v g a x j ^

Tranquilo?

Passo 5

c) Qual é o alcance máximo, na horizontal, atingido pelo rojão em relação à plataforma?

O alcance é o que? É uma posição, certo? E na horizontal.

Então vamos usar a equação de Torricelli:

v x 2 = v 0 x 2 + 2 a x ∆ x

O alcance máximo ocorre quando o rojão não consegue ir mais pra frente (por isso que é máximo..kkk). E isso vai acontecer quando a velocidade em x for zero.

v x = 0

Então:

v x 2 = v 0 x 2 + 2 a x ∆ x

0 = v 2 + 2 ( - a x ) ( x f - x i )

A posição inicial é zero. Então resolvendo isso, temos:

x f = v 2 2 a x

Esse é o alcance máximo!

Show?

Resposta

a) h = 2 v 2 g a x 2

b) v → = - v i ^ - 2 v g a x j ^

c) x f = v 2 2 a x

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