Exercícios Resolvidos de Lançamento Horizontal

Lançamento Oblíquo

Um corpo de massa m sai do repouso e cai em queda livre de uma altura H com relação ao solo. Quando ele passa pela altura h (veja a figura abaixo) é desviado por um anteparo de modo que assume uma nova velocidade na horizontal tal que o módulo dessa velocidade é igual ao módulo da velocidade que o corpo tinha imediatamente antes de ser desviado.

a ) Ache o vetor velocidade com que o corpo é lançado na horizontal.

b ) A que distância x A de sua posição inicial o corpo atinge o solo?

c ) Quais valores de h dariam o mesmo alcance x A ?

d ) Qual valor de h maximiza x A ?

Note que para uma função f ( x ) , o valor x = x 0 que maximiza esta função é obtido tomando a derivada com relação a x e igualando a zero de forma que d f d x x = x 0 = 0 .

Passo 1

a )

Bem primeiramente precisamos encontrar o vetor velocidade na altura h , que pelas fórmulas de movimento uniformemente variado pode ser encontrado por:

v = v 0 - g t

Entretanto precisamos do instante de tempo em que o corpo chega a altura h , para isso vamos utilizar outra fórmula de MUV:

S = S 0 + v 0 t - g t 2 2

Substituindo os valores e lembrando que o corpo parte do repouso, portanto v 0 = 0 , encontramos:

h = H - g t 2 2

Agora podemos isolar o tempo para encontrar o instante em que ele chega a altura h :

t = 2 H - h g

Agora já temos o tempo para substituir na nossa fórmula:

v = v 0 - g t

Lembrando que v 0 = 0 no instante inicial.

v z → = - g 2 H - h g   z ^

Onde z ^ é o versor que indica a direção e sentido da velocidade (vertical para baixo). Ainda podemos simplificar essa expressão jogando a gravidade para dentro da raiz:

v z → = - 2 g 2 H - h g   z ^

v z → = - 2 g H - h   z ^

Muito bem, mas o problema quer o vetor com que o corpo é lançado na horizontal após chocar-se com o anteparo. Que segundo o enunciado possui o mesmo módulo de v z → , logo:

v x → = 2 g H - h   x ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

O alcance pode ser calculado pela fórmula:

A = v 0 x t

Onde o t é o tempo de voo, que a gente não possui ainda. Mas a gente pode descobrir usando a seguinte fórmula para o eixo z :

S = S 0 + v 0 t - g t 2 2

Onde nós sabemos que o S 0 = h e que S = 0 , além de que v 0 = 0 pois ele inicia um novo movimento na altura h onde v z inicial é zero. Agora vamos substituir:

0 = h - g t 2 2

Isolando o tempo t , temos:

t = 2 h g

Agora podemos substituir na nossa fórmula do alcance:

A = v 0 x t

Lembrando que v 0 x corresponde a velocidade inicial em x que encontramos no item anterior.

x A = 2 g H   - h 2 h g

x A = 2 h ( H   - h )

Passo 3

c )

Bem, no item anterior encontramos x A = 2 h ( H   - h ) , note que se abrirmos essa equação ficamos com:

x A = 4 ( - h 2 + H h )

Logo, vemos que x A depende de h quadraticamente, quer dizer, podem existir dois valores de h para o qual essa raiz dê x A . Para simplificar nossa vida, vamos elevar ao quadrado os dois lados da equação, porque ai podemos sumir com essa raiz chata.

x A 2 = 4 ( - h 2 + H h ) 2

x A 2 = 4 - h 2 + H h

x A 2 4 = - h 2 + H h

h 2 - H h + x A 2 4 = 0

Muito bem, caímos numa equação do segundo grau, basta calcular as raízes que são:

h = H   ± H 2   - x A 2 2  

Essas duas raízes fornecem dois valores de h para o qual o alcance é x A .

Passo 4

d )

Para descobrirmos o h 0 no qual o alcance é máximo, vamos seguir a dica do exercício.

d x A h d h h = h 0 = 0

d 2 h 0 H   - h 0 d h 0 = 0

Derivando a equação vamos encontrar:

H - 2 h 0 h 0 H   - h 0 = 0

Logo, para que essa divisão seja zero, o numerador precisa ser zero, portanto:

H - 2 h 0 = 0

h 0 = H 2

Resposta

a )   v x → = 2 g H - h   x ^

b )   x A = 2 h ( H   - h )

c )   h = H   ± H 2   - x A 2 2  

d )   h 0 = H 2

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