Exercícios Resolvidos de Lançamento Horizontal

Dois projéteis 1 e 2 de mesma massa são lançados simultaneamente e horizontalmente de alturas h 1 e h 2 (diferentes) em relação ao solo. Verifica-se que ambos atingem o mesmo ponto A no solo, conforme a figura:

Qual a única das grandezas a seguir que é a mesma para os dois projéteis?

(a) Vetor aceleração média entre o instante de lançamento e o imediatamente anterior ao projétil atingir o solo.

(b) Vetor velocidade média entre o instante de lançamento e o imediatamente anterior ao projétil atingir o solo.

(c) Direção do vetor velocidade instantânea no instante imediatamente anterior ao projétil atingir o solo.

(d) Intervalo de tempo entre o instante de lançamento e o imediatamente anterior ao projétil atingir o solo.

Passo 1

Temos duas partículas sendo lançadas horizontalmente a partir de alturas diferentes, porém elas atingem o chão no mesmo ponto (mesmo alcance).

O que podemos descobrir sobre as velocidades?

O tempo de queda depende apenas da altura, podemos calcular esse tempo com aquela expressão:

h = g t 2 2

Isso acontece porque a aceleração da gravidade é constante:

Assim, analisando apenas o movimento vertical da partícula, temos um movimento uniformemente acelerado (MUV) com velocidade inicial zero v y 0 = 0 :

S y = S y 0 + v y 0 t + a t 2 2

0 = h + 0 + - g t 2 2

h = g t 2 2

t 2 = 2 h g

Tá... okay. E daí?

Como a altura da partícula 2 h 2 é maior que a altura da partícula 1 h 1 , o tempo de queda em 2 também será maior que em 1:

t 2 > t 1

Até aí beleza, e as velocidades?

Velocidade horizontal:

Como a partícula 2 demora um tempo maior para percorrer uma mesma distância A , ela está mais “devagar” horizontalmente que a partícula 1.

Então, a velocidade horizontal 2 é menor que a da partícula 1:

v x 2 < v x 1

Isso acontece para todos os instantes do trajeto, já que a velocidade horizontal v x é constante nos lançamentos.

Velocidade vertical:

Já vimos que, Inicialmente, ambas são nulas:

v y 0 = 0

Mas e no momento em que as partículas atingem o chão?

A partícula mais alta vai chegar no chão com uma velocidade maior, certo?

Isso mesmo! A partícula 2 “sofreu” a aceleração da gravidade por mais tempo e por isso sua velocidade vertical vai ser maior que a da partícula 1:

v y 2 > v y 1

Okay, agora vamos pegar as alternativas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) Vetor aceleração média entre o instante de lançamento e o imediatamente anterior ao projétil atingir o solo.

Bom, a única aceleração que as partículas sofrem é a aceleração da gravidade g → , que é constante em todos os instantes do movimento:

Então, o vetor aceleração média nos dois casos é igual ao vetor da aceleração da gravidade:

Assim, as duas partículas têm o mesmo vetor aceleração média.

A alternativa (a) está correta e achamos nossa resposta.

Mas vamos dar uma olhada nas outras também.

Passo 3

(b) Vetor velocidade média entre o instante de lançamento e o imediatamente anterior ao projétil atingir o solo.

O vetor velocidade média v → m é dado pelo vetor deslocamento ∆ S → sobre o intervalo de tempo ∆ t :

v → m = ∆ S → ∆ t

Então, o vetor velocidade média estará na mesma direção do vetor deslocamento.

Os vetores deslocamentos são:

Como eles estão em direções diferentes, os vetores velocidade média também estarão em direções diferentes, logo:

v → m 1 ≠ v → m 2

A alternativa (b) está incorreta.

Passo 4

(c) Direção do vetor velocidade instantânea no instante imediatamente anterior ao projétil atingir o solo.

Vimos lá no Passo 1, que as componentes das velocidades verticais no instante final são diferentes, sendo a da partícula 2 maior:

v y 2 > v y 1

Enquanto as componentes horizontais não mudam ao longo do movimento e também são diferentes entre si. Porém dessa vez, a da partícula 1 é maior:

v x 2 < v x 1

Será que essas componentes acabam se compensando e no final resultam em vetores velocidade instantânea iguais?

Na verdade, isso não acontece.

As velocidades são sempre tangentes à trajetória:

O movimento de lançamento horizontal tem uma trajetória de uma parábola.

Como o vértice dessas parábolas (ponto inicial) estão em alturas diferentes, mas partem do mesmo “x”, não tem como essas parábolas se encontrarem e ainda serem tangentes em um ponto. (argumentozinho de cálculo chato né... hahah)

É mais fácil pensar em um contra-exemplo do que justificar o “nunca”, h 1 e h 2 podem ser quaisquer valores, desde que diferentes.

Se a gente ir alterando um desses h , o vetor velocidade instantânea naquele ponto do solo vai mudando de direção, né?

Então, os vetores velocidade instantânea v → 1 e v → 2 vão ser diferentes entre si e a afirmativa está errada.

A alternativa (c) está incorreta.

Passo 5

(d) Intervalo de tempo entre o instante de lançamento e o imediatamente anterior ao projétil atingir o solo.

Já vimos no Passo 1, que os tempos de queda dependem da altura.

Assim, como as alturas h 1 e h 2 são diferentes, temos tempos de queda diferentes:

t 1 ≠ t 2

A alternativa (d) está incorreta.

Resposta

Letra (a)

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