Exercícios Resolvidos de Quociente de Funções com x → Infinito

PUC-RJ – Cálculo 1 – P1 2015.1 – 3.b1

Determine lim n → ∞ ⁡ a n - 3 a n - 2 2 onde a n = n + 2 2 n + 1 n + 3 n + 4 .

Passo 1

Para simplificar o trabalho de calcular lim n → ∞ ⁡ a n - 3 a n - 2 2 podemos primeiramente calcular o valor de lim n → ∞ ⁡ a n = C e depois calcular

lim a n → C ⁡ a n - 3 a n - 2 2

Já que o único termo em função de n no limite é o próprio a n .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 2 n + 1 n + 3 n + 4 = ∞ ∞

Botamos em evidência os graus dos polinômios de cima e de baixo:

= lim n → ∞ ⁡ n 2 1 + 2 n 2 + 1 n n 2 1 + 3 n 1 + 4 n

= lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n 2 + 1 n 1 + 3 n 1 + 4 n

Agora é só substituir,

= 1 + 0 2 + 0 1 + 0 1 + 0

= 1 2 1 1

= 2

Passo 3

Agora basta calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n - 3 a n - 2 2

= lim a n → 2 ⁡ a n - 3 a n - 2 2

E se eu mudar esse a n aí para x ? Olha a cara que vai ficar

lim x → 2 ⁡ x - 3 x - 2 2 = - 1 0

Rapaz, o denominador zera e o numerador vai para - 1 . Acontece que se observarmos lateralmente perceberemos que, como o denominador tem uma potência quadrada (no caso, 2 ) ele se aproximará por valores positivos pelos dois lados. Multiplicado ao - 1 , ele explodirá para - ∞ . Logo, o limite não existirá, enfim.

lim n → ∞ ⁡ a n - 3 a n - 2 2 = - ∞

Resposta

lim n → ∞ ⁡ a n - 3 a n - 2 2 = - ∞

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