Determine os limites a seguir:

e) lim x → + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x x + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = 1 ln ⁡ x x + 1 quando o valor de x se aproxima de infinito pela direita, ou seja, ele vai crescendo infinitamente.

Repare que a gente tem uma indeterminação do tipo 1 ∞ ∞ . Sendo assim, temos que fugir dessa indeterminação. Para isso, vamos manipular um pouquinho nossa função e calcular o limite de cada termo separadamente.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x x + 1

Na multiplicação de potências de bases iguais, nós somamos os expoentes, certo? Repare que a gente tem uma soma de expoentes ali, então podemos separar as bases em um produto:

lim x → + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x x ∙ lim x ��� + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x 1

Agora repare que quando x vai ficando cada vez menor, o resultado da nossa divisão vai ficando cada vez menor, então ele se aproxima de zero, e temos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x 1 = 0 ∙ 0

Portanto, lim x → + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x x + 1 = 0

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x x + 1 = 0

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