04) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 1 ⁡ 3 x 3 - 2 x 2 - 3 x + 2 2 x - 2 2

Passo 1

Eaí minha gente, tudo bom com vocês?

O primeiro passo é sempre substituir x pelo valor que ele está tendendo, no caso, vamos fazer x = 1 .

3 1 3 - 2 1 2 - 3 1 + 2 2 1 - 2 2 = 0 0

Temos uma indeterminação matemática ☹Vamos precisar pensar mais um pouco.

Passo 2

O que temos aqui é um quociente de dois polinômios, no denominador x = 1 é raiz dupla e a indeterminação matemática vem justamente desse termo. A ideia nesse tipo de questão é tentar fatorar os polinômios de modo a cancelar o termo que está nos trazendo problema.

Para fatorar polinômios é muito importante ter em mente o teorema da decomposição, que vamos relembrar agora:

Se P ( x ) for um polinômio de grau n onde x 1 , x 2 , …     ,     x n são raízes de P ( x ) , então a gente pode escrever:

P x = α x - x 1 x - x 2 ⋯ x - x n

Esse teorema é bem importante no assunto atual, então vamos deixar ele bem guardado na memória. E aproveitando, bora fatorar os polinômios dessa questão:

3 x 3 - 2 x 2 - 3 x + 2 = 3 x - 1 x 2 + 1 3 x - 2 3  

Como x =   - 1 também é raiz:

3 x 3 - 2 x 2 - 3 x + 2 = 3 x - 1 x + 1 ( x - 2 3 )

Já o denominador pode ser fatorado como:

2 x - 2 2 = 4 x - 1 2

Passo 3

Agora que já fatoramos os polinômios, podemos substituí-los no limite e torcer para que isso cancele a indeterminação:

lim x → 1 ⁡ 3 x 3 - 2 x 2 - 3 x + 2 2 x - 2 2 = lim x → 1 ⁡ 3 x - 1 x 2 + 1 3 x - 2 3 4 x - 1 2 = lim x → 1 ⁡ 3 x 2 + 1 3 x - 2 3 4 ( x - 1 )

Melhorou um pouco. Mesmo que o denominador ainda esteja zerando, o numerador não é mais igual a zero quando x → 1 . Assim, nós podemos analisar os limites laterais:

lim x → 1 - ⁡ 3 x 2 + 1 3 x - 2 3 4 ( x - 1 ) =   - ∞

lim x → 1 + ⁡ 3 x 2 + 1 3 x - 2 3 4 ( x - 1 ) =   + ∞

Opa, olha que interessante. Os limites laterais são diferentes, isso significa que o limite que estamos tentando calcular na verdade não existe!

Resposta

Não existe, pois os limites laterais em x = 1 não são iguais.

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