Enunciado

Calcule:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 1 x

Passo 1

Substituindo x → + ∞ no limite, caímos numa indeterminação “ ∞ / ∞ ”.

Mas por causa da raiz quadrada l’Hôpital nem vai ser a boa. Por mais que a gente derive ela, ela nunca some. Além do mais, temos um método pra calcular esse tipo de limite!

O que fazemos é botar o x de maior grau em evidência, no numerador e no denominador.

No caso, o denominador é simplesmente “ x ”, então nem precisa se preocupar com ele. Mas o numerador tem uma raiz, então temos que tirar o x pra fora dela:

x 2 - 1 = x 2 1 - 1 x 2

Agora, muita atenção nessa hora! Na hora de tirar o x pra fora da raiz tem que botar um módulo:

x 2 1 - 1 x 2 = x 1 - 1 x 2

Então o limite ficou:

lim x → + ∞ ⁡ x 1 - 1 x 2 x

Passo 2

Escrevemos que x 2 = x , mas como estamos trabalhando com um limite em x → + ∞ , certamente x é positivo. Afinal, ele está lá no infinito né? Então nesse caso:

x = x

Mas só podemos fazer isso porque temos garantia que x é positivo. Se fosse um limite em x → - ∞ , por exemplo, teríamos x = - x .

Enfim, por isso o limite vai ficar:

lim x → + ∞ ⁡ x 1 - 1 x 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 - 1 x 2

= 1 - 0 = 1 = 1

Resposta

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