Calcule

lim n → ∞ ⁡ 5 n 2 - 2 n + 3 6 n 3 - 4 n

Passo 1

Temos a divisão entre dois polinômios com n indo para , aqui vamos usar um truque, vamos colocar em evidência o n de maior grau do numerado e depois fazemos a mesma coisa com o denominador, não entendeu nada? Vamos pegar a fração e fazer isso com calma

5 n 2 - 2 n + 3 6 n 3 - 4 n

Qual o maior grau de n no numerador? 2 né? Vamos colocar n 2 em evidência no numerador

5 n 2 - 2 n + 3 6 n 3 - 4 n = n 2 5 - 2 n n 2 + 3 n 2 6 n 3 - 4 n = n 2 5 - 2 n + 3 n 2 6 n 3 - 4 n

Agora para o denominador, qual o maior grau dele? 3 né? Vamos colocar n 3 em evidência no denominador

n 2 5 - 2 n + 3 n 2 6 n 3 - 4 n = n 2 5 - 2 n + 3 n 2 n 3 6 - 4 n n 3 = n 2 5 - 2 n + 3 n 2 n 3 6 - 4 n 2

Agora vamos simplificar os valores de x

n 2 5 - 2 n + 3 n 2 n 3 6 - 4 n 2 = 5 - 2 n + 3 n 2 n 6 - 4 n 2

Beleza, arrumamos a fração, mas porque diabos fizemos isso?

Repara que o limite de um número qualquer divido por n k vai para SEMPRE para 0 , porque? Olha para isso

lim n → ∞ ⁡ a n k = a ∞ = 0

Isso vai zerar muita gente e sobrar pouca coisa, vamos ver como fica o limite

Passo 2

Vamos voltar para o limite, trocando a fração por aquela arrumada que demos

lim n → ∞ ⁡ 5 n 2 - 2 n + 3 6 n 3 - 4 n = lim n → ∞ ⁡ 5 - 2 n + 3 n 2 n 6 - 4 n 2

Usando as propriedades de limites, o limite vai ficar

lim n → ∞ ⁡ 5 - 2 n + 3 n 2 n 6 - 4 n 2 = 5 - 0 + 0 ∞ 6 - 0 = 5 ∞ = 0

Então chegamos numa conta de boa de fazer, esse limite vai ser 0 , sacou a marotagem desse tipo de questão? Isso serve tanto para + ∞ quanto para - ∞ não importa aquela divisão a n k vai para 0 nos dois casos.

Resposta

0

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