a) Calcule o limite

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + 2 x 2 x 2 + 1

Passo 1

Opa, vamos lá. A primeira cosia que a gente tem que tentar fazer é substituir e ver o que que dá. Vamos lá então:

- ∞ 4 + 2 - ∞ 2 - ∞ 2 + 1 = + ∞ + ∞

Puts, não deu certo! Deu uma indeterminação. Então vamos precisar reescrever esse limite de uma forma que não de indeterminação. Como os polinômios do numerador e do denominador são diferentes, uma ideia é a gente por o de maior grau em evidência. Dá uma olhada em como fica:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + 2 x 2 x 2 + 1 = lim x → - ∞ ⁡ x 4 1 + 2 x 2 x 2 1 + 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 + 2 x 2 1 + 1 x 2

Passo 2

Agora que o limite foi reescrito, vamos calcular o limite. Mas olha só, temos uma propriedade importante dos limites pra checar aqui:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 + 2 x 2 1 + 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 ∙ lim x → - ∞ ⁡ 1 + 2 x 2 1 + 1 x 2

Vamos calcular o segundo limite primeiro, vamos ter:

lim x → - ∞ ⁡ 1 + 2 x 2 1 + 1 x 2 = 1 + 0 1 + 0 = 1

Agora, o primeiro limite que vai definir tudo, porque veja bem:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 + 2 x 2 1 + 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 2

Um número infinitamente grande e negativo elevado ao quadrado perde o sinal e vira um número infinitamente grande e positivo! Opa, então o limite vai dar:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 = + ∞

E logo:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + 2 x 2 x 2 + 1 = + ∞

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + 2 x 2 x 2 + 1 = + ∞

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