Calcule o limite:

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ π x + 5 4 x 2 + 1

Passo 1

A primeira coisa a fazer, como sempre, é substituir o ponto do limite: lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ π x + 5 4 x 2 + 1 = sen ⁡ ∞ ∞

É... Ficou bem esquisito. Vamos então manipular então o limite para chegar no resultado.

Passo 2

Como o seno é uma função contínua, podemos jogar o limite para dentro:

lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ π x + 5 4 x 2 + 1 = sen ⁡ l i m x → ∞ π x + 5 4 x 2 + 1

Agora vamos tratar só desse limite de dentro e depois substituir no seno.

Passo 3

l i m x → ∞ π x + 5 4 x 2 + 1

Agora temos um limite com x → ∞ e polinômios. Para resolvê-lo, precisamos colocar a maior potência em evidência: l i m x → ∞ π x + 5 4 x 2 + 1 = l i m x → ∞ x π + 5 x x 2 4 + 1 x 2 = l i m x → ∞ x π + 5 x x 4 + 1 x 2

  Lembre-se que x 2 = x e não x . Como x → ∞ que é positivo, teremos x = x , mas isso não será verdade se x → - ∞ , então cuidado!

Cortando numerador e denominador: l i m x → ∞ x π + 5 x x 4 + 1 x 2 = l i m x → ∞ π + 5 x 4 + 1 x 2

Agora como a raiz e o polinômio são contínuos, então podemos jogar novamente o limite pra dentro, ficando: l i m x → ∞ π + 5 x 4 + 1 x 2 = π + l i m x → ∞ 5 x 4 + l i m x → ∞ 1 x 2 = π 2

Passo 4

Não podemos esquecer que isso está dentro do seno, substituindo:

lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ π x + 5 4 x 2 + 1 = sen ⁡ l i m x → ∞ π x + 5 4 x 2 + 1 = sen ⁡ π 2 = 1

Resposta

lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ π x + 5 4 x 2 + 1 = 1

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