Exercícios Resolvidos de Quociente de Polinômios com x → Constante

Elaboração Própria

Calcule o limite:

lim x 1 3 3 x 3 - 25 x 2 + 44 x - 12 - 3 x 2 + 7 x - 2

Passo 1

A gente começa substituindo o limite, certo?

lim x 1 3 3 x 3 - 25 x 2 + 44 x - 12 - 3 x 2 + 7 x - 2 = 3 1 3 3 - 25 1 3 2 + 44 1 3 - 12 - 3 1 3 2 + 7 1 3 - 2

= 1 9 - 25 9 + 44 3 - 12 - 1 3 + 7 3 - 2 = - 24 9 + 44 3 - 12 6 3 - 2 = - 8 3 + 44 3 - 12 2 - 2

= 36 3 - 12 0 = 0 0

Deu ruim né? Então, vamos tentar usar uma malandragem algébrica.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Zerou em cima e embaixo, o que significa que x - 1 3 vai aparecer na fatoração dos dois termos. Vamos dividí-los por esse termo, o de cima por Briot-Ruffini, o de baixo por Bhaskara.

Começamos com o de baixo:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 7 ± 49 - 24 2 - 3 = - 7 ± 25 - 6

x = - 7 + 5 - 6 = 1 3       ;       x = - 7 - 5 - 6 = 2

Ou seja, - 3 x 2 + 7 x - 2 = - 3 x - 1 3 x - 2 .

OBS.: Esse - 3 aí veio por que a = - 3 nesse polinômio.

Passo 3

O de cima, dividimos ele por x - 1 3 pelo método de Briot-Ruffini:

Desce o primeiro coeficiente:

Multiplicamos a raiz pelo primeiro e somamos ao segundo:

Repetimos isso para os dois outros números que restam:

Ou seja, 3 x 3 - 25 x 2 + 44 x - 12 = x - 1 3 3 x 2 - 24 x + 36 .

Passo 4

Substituindo no limite:

lim x 1 3 3 x 3 - 25 x 2 + 44 x - 12 - 3 x 2 + 7 x - 2 = lim x 1 3 x - 1 3 3 x 2 - 24 x + 36 - 3 x - 1 3 x - 2

= lim x 1 3 3 x 2 - 24 x + 36 - 3 x - 2 = 3 1 3 2 - 24 1 3 + 36 - 3 1 3 - 2 = 1 3 - 8 + 36 - 3 - 5 3

= 1 3 + 28 5 1

Na divisão de 2 frações, repetimos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda:

= 1 3 + 28 1 5

Aplicando o MMC, achamos que:

= 1 3 + 84 3 1 5 = 85 3 1 5 = 85 15 = 17 3

Resposta

lim x 1 3 3 x 3 - 25 x 2 + 44 x - 12 - 3 x 2 + 7 x - 2 = 17 3

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