5. Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.

b. lim x → - 2 ⁡ 2 x + 4 | x + 2 |

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos o seguinte limite para resolver:

lim x → - 2 ⁡ 2 x + 4 | x + 2 |

Vamos começar substituindo - 2 , na função

lim x → - 2 ⁡ 2 x + 4 | x + 2 | = 2 - 2 + 4 | - 2 + 2 | = 0 0

Opaaa! Caímos em um indeterminação do tipo 0 0 . Agora vamos resolver esse limite!

Passo 2

Vamos mexer um pouquinho na função e colocar o 2 em evidencia no nosso numerador. Fica assim:

lim x → - 2 ⁡ 2 x + 4 | x + 2 | = lim x → - 2 ⁡ 2 x + 2 | x + 2 |

Dá uma vontade de cortar o x + 2 com o módulo de baixo, mas não podemos fazer isso justamente porque temos um módulo no denominador.

Vamos ter que analisar a função modulo.

Passo 3

A função módulo pode ser aberta da seguinte forma:

x + 2 = x + 2 ,   s e   x > - 2 - x + 2 ,   s e   x < - 2

Sendo assim, vamos ter que calcular o limite de x → 2 pela direita e pela esquerda.

Passo 4

Começando por x → - 2 - . Ficamos com:

lim x → - 2 - ⁡ 2 x + 4 | x + 2 | = lim x → - 2 - ⁡ 2 x + 2 | x + 2 | = lim x → - 2 - ⁡ 2 x + 2 - x + 2

Agora sim, podemos simplificar,

lim x → - 2 - ⁡ 2 x + 2 - x + 2 = 2 - 1 = - 2

Passo 5

Agora vamos para o outro lado. Ficamos com:

lim x → - 2 + ⁡ 2 x + 4 | x + 2 | = lim x → - 2 + ⁡ 2 x + 2 | x + 2 | = lim x → - 2 + ⁡ 2 x + 2 x + 2

Agora sim, podemos simplificar,

lim x → - 2 + ⁡ 2 x + 2 x + 2 = 2 1 = 2

Passo 6

Mas a gente quer saber o lim x → - 2 ⁡ 2 x + 4 | x + 2 | . Para ele existir temos que os limites laterais devem ser iguais.

lim x → - 2 - ⁡ f x = lim x → - 2 + ⁡ f x

Porém, como verificamos nos passos anteriores, esses limites são diferentes.

lim x → - 2 - ⁡ f x ≠ lim x → - 2 + ⁡ f x

Logo, lim x → - 2 ⁡ f x não existe!

Resposta

Não existe

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4