Calcule os limites

f) x 4 - 3 x 2 - 4 x - 2  

Passo 1

Opa, tudo bem contigo? Vamo que vamo resolver uma questão de limite. Nela, nos é apresentado o seguinte limite:

x 4 - 3 x 2 - 4 x - 2  

Uma divisão de polinômios, belezura. Bora aplicar o limite da forma como está e ver o que acontece? Temos que:

x 4 - 3 x 2 - 4 x - 2  

Como temos x tendendo a 2 , vamos substituir o valor de x por 2 . Então, aplicando:

2 4 - 3 ⋅ 2 2 - 4 2 - 2   = 0 0

Ora, caímos em uma indeterminação! Vocês lembram mais ou menos o que isso significa? São situações matemáticas que não fazem sentido numericamente. Trazendo pro nosso caso, como encontramos a razão de 0 por 0 , precisamos encontrar um jeito de sair dela. Mas como estamos trabalhando com polinômios, aí vem uma dica de ouro: sempre procure deixar o polinômio do numerador e/ou denominador de outra forma, a fim de tirar a indeterminação do denominador igual a 0.

Ou seja, temos que achar algum jeito de o nosso numerador se simplificar com o denominador, dessa forma conseguiremos sair da indeterminação! E aí, conseguimos, novamente, aplicar o limite até encontrar o valor que queremos. Vamo que vamo!

Passo 2

Show, então nosso limite tem essa cara:

x 4 - 3 x 2 - 4 x - 2  

E se a questão nos deu que o denominador é ( x - 2 ) , devemos então dar uma forma de simplificar o numerador de forma que em cima apareça também um ( x - 2 ) . Isso significa que pra questão desenvolver, alguma das raízes do numerador é 2 . E então, a gente consegue fazer algo na forma de:

( x - 2 ) ( x - 2 ) = 1

Entenderam a ideia? Então vamo lá! A gente tem um numerador de grau 4, e intuitivamente sabemos que uma das raízes do numerador é 2, pois ele tem que aparecer na forma:

f 4 x = x - 2 f 3 ( x )

Pra conseguirmos simplificar o denominador. Sendo f 4   ( x ) e f 3 ( x ) polinômios de grau 4 e 3 respectivamente. E uma técnica que ajuda a gente nesse caso é a técnica de Briot-Rufini. Através dela, conseguiremos achar o formato de f 3 ( x ) , e desenvolver o limite. Você sabe como a gente aplica ela? Vamo lá!

Passo 3

Primeiro passo do Briot-Rufini é armar ela. Se temos uma equação do tipo:

f 4 x = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x 1 + e

E já sabemos uma das raízes r 1 = 2 , podemos montar da seguinte forma:

Como nossa função

f 4 x = x 4 - 3 x 2 - 4

Temos que os coeficientes são:

a = 1

b = 0

c = - 3

d = 0

e = - 4

Isso, porque temos acompanhando de x 4 o número 1 , não temos o termo de x 3 , temos - 3 x 2 , não temos o termo x e temos, por fim, acompanhando o polinômio, a constante - 4 .

Montando no Briot-Rufini:

Show, e agora vem a dinâmica: Primeira coisa é descer o primeiro coeficiente!

Agora, para encontrarmos os próximos coeficientes, realizaremos:

O produto do último novo coeficiente que achamos, com a raiz r 1 = 2 , somados com o próximo coeficiente.

Pra ficar mais fácil, visualmente temos:

Ou seja:

1 ⋅ 2 + 0 = 2

E por aí vai. Continuando o método:

2 ⋅ 2 - 3 = 4 - 3 = 1

Para o próximo coeficiente:

1 ⋅ 2 + 0 = 2

E por fim para a constante:

2 ⋅ 2 - 4 = 4 - 4 = 0

Belezura, de posse desses novos coeficientes 1 ,     2 ,     1   e   2 , podemos escrever uma nova função f 3 ( x ) da forma:

1 x 3 + 2 x 2 + 1 x + 2

E lembra lá do passo 2, quando escrevemos que f 4 x = x - 2 f 3 ( x ) ?

Como temos f 3 ( x ) = 1 x 3 + 2 x 2 + 1 x + 2 , então, nossa função

x 4 - 3 x 2 - 4

Pode ser reescrita da forma:

x - 2 ( 1 x 3 + 2 x 2 + 1 x + 2 )

E olha que coisa linda, conseguimos simplificar!

Passo 4

Nosso limite no começo era:

x 4 - 3 x 2 - 4 x - 2  

Com a última simplificação que fizemos, passou a ser:

( x - 2 ) ( x 3 + 2 x 2 + x + 2 ) x - 2  

Agora a gente consegue simplificar numerador com denominador! Vocês conseguem encontrar alguma semelhança entre eles? Isso mesmo!! Temos x - 2 em baixo e em cima na equação. Justo do jeitinho que prevemos no Passo 1. Vamos simplificar eles, obtendo:

x 3 + 2 x 2 + x + 2  

E aplicando o limite, substituindo x por 2 :

x 3 + 2 x 2 + x + 2   = 2 3 + 2 ⋅ 2 2 + 2 + 2 = 20

Então

x 3 + 2 x 2 + x + 2   = 20

Ou seja,

x 4 - 3 x 2 - 4 x - 2   = 20

E é isso gente boa, matamos a questão!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

x 4 - 3 x 2 - 4 x - 2   = 20

Exercícios de Livros Relacionados

Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4