Calcule o limite abaixo

l i m x → 16 x - 16 16 x - x 2

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez precisamos calcular um limite. Bem, vamos dar uma revisadinha na noção de limite? Bora!

Bem, quando estamos querendo saber o valor de um limite, nós queremos saber como a função se comporta ao redor de um certo ponto e não o valor do ponto em si. Mas seria muito trabalhoso sempre que quisermos calcular um limite ficarmos verificando esse comportamento, né? Mas existe um segredo, se a função for contínua, então vale a fórmula .

l i m x → a   f ( x ) = f ( a )

Ou seja, o limite é o próprio valor da função naquele ponto. Contudo se a função for descontínua no ponto que estamos tentando calcular o limite, por exemplo

l i m x → 0 1 / x 2

Então precisamos fazer o estudo com mais calma. Mas podem ficar tranquilos, muitas vezes só precisamos fazer esse estudo quando a função é da forma

f ( x ) / g ( x )

Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!

Passo 2

l i m x → 16 4 - x 16 x - x 2

Essa função parece ter uma descontinuidade quando x = 16 , né? Pois nesse valor o denominador é zero. Mas vamos reescrever a função.

Usando produto notável, temos:

4 - x 16 x - x 2 = 4 - x x ( 4 + x ) ( 4 - x )

Simplificando, temos:

= 1 x ( 4 + x )

Bem, conseguimos mostrar que a função

4 - x 16 x - x 2

é equivalente a função

1 x ( 4 + x )

Que é bem definida e contínua para todo x ≠ 0 , logo calcular o limite abaixo é equivalente a calcular o valor da função acima para x = 16 . Isso implica que

l i m x → 16 4 - x 16 x - x 2

= l i m x → 16 1 x ( 4 + x )

= 1 16 ( 4 + 4 )

= 1 / 128

Com isso, descobrimos que

l i m x → 16 4 - x 16 x - x 2 = 1 / 128

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

1 / 128

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