Calcule os seguintes limites:

( c )   l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) ( d )   l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 1 - c o s ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y )

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos resolver os seguintes limites

( c )   l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) ( d )   l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 1 - c o s ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y )

para o primeiro limite vamos ter que usar o limite fundamental trigonométrico (vou apresentar durante a resolução, mas é aquele do seno), e para o segundo precisaremos além do limite fundamental trabalhar a expressão um pouquinho antes! Beleza? Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar então com o limite

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y )

Eu disse que iríamos usar o limite trigonométrico fundamental que é da seguinte forma

l i m x → 0 s e n ( x ) x = 1

Mas, o nosso limite não tem esse formato exatamente! O segredo é o seguinte, temos um ( x y ) no argumento do seno que está no numerador, portanto, vamos multiplicar e dividir o nosso limite por x y , temos que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) x y x y = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) x y x s e n ( x ) y s e n ( y )

Agora ficou mais simples, certo? Consegue visualizar? Saca só!

Passo 3

O limite que sobrou pode ser dividido em três limites diferentes da forma

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) x y x s e n ( x ) y s e n ( y ) = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) x y l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x s e n ( x ) l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) y s e n ( y )

Como os dois últimos termos dependem apenas de x e de y respectivamente, podemos simplificar o limite para

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) x y l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x s e n ( x ) l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) y s e n ( y ) = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) x y l i m x → 0 x s e n ( x ) l i m y → 0 y s e n ( y )

agora usando que

l i m x → 0 x s e n ( x ) = ( l i m x → 0 s e n ( x ) x ) - 1 = 1 - 1

Os três limites podem ser resolvidos para se obter

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) x y l i m x → 0 x s e n ( x ) l i m y → 0 y s e n ( y ) = ( 1 ) ( 1 ) - 1 ( 1 ) - 1 = 1

ou simplesmente

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) = 1

O primeiro já foi! Vamos para o segundo!

Passo 4

Agora temos que resolver o seguinte limite

l i m ( x , y ) ��� ( 0,0 ) 1 - c o s ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y )

os senos no denominador indicam que o limite fundamental trigonométrico será útil, no entanto, o numerador está meio esquisito! O que podemos fazer aqui é multiplicar e dividir por 1 + c o s ( x y ) e ver se isso nos ajuda a encontrar uma função seno através da identidade trigonométrica fundamental, temos que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 1 - c o s ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 1 - c o s ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) 1 + c o s ( x y ) 1 + c o s ( x y ) = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 1 - c o s 2 ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) 1 1 + c o s ( x y )

temos que 1 - c o s 2 ( x y ) = s e n 2 ( x y ) , portanto, podemos escrever

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 1 - c o s 2 ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) 1 1 + c o s ( x y ) = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n 2 ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) 1 1 + c o s ( x y )

Agora temos um truco bem similar ao que fizemos para o outro limite! Consegue adivinhar? Bora lá!

Passo 5

Vamos multiplicar e dividir o nosso limite por ( x y ) 2 = x y , temos que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n 2 ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) 1 1 + c o s ( x y ) = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n 2 ( x y ) ( x y ) 2 ( x y ) 2 s e n ( x ) s e n ( y ) 1 1 + c o s ( x y )

que pode ser escrito como

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n 2 ( x y ) ( x y ) 2 ( x y ) 2 s e n ( x ) s e n ( y ) 1 1 + c o s ( x y ) = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( s e n ( x y ) x y ) 2 x y s e n ( x ) s e n ( y ) 1 1 + c o s ( x y )

Os dois primeiros termos são aplicações do limite fundamental trigonométrico como fizemos para o outro limite, e o terceiro termo pode ser resolvido diretamente avaliando em ( x , y ) = ( 0,0 ) , temos que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( s e n ( x y ) x y ) 2 x y s e n ( x ) s e n ( y ) 1 1 + c o s ( x y ) = ( l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) x y ) 2 l i m x → 0 x s e n ( x ) l i m y → 0 y s e n ( y ) l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 1 1 + c o s ( x y )

ou, simplesmente

( l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) x y ) 2 l i m x → 0 x s e n ( x ) l i m y → 0 y s e n ( y ) l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 1 1 + c o s ( x y ) = ( 1 ) 2 ( 1 ) - 1 ( 1 ) - 1 1 1 + 1 = 1 2

o limite é então dado por

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 1 - c o s ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) = 1 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

( c ) l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) = 1 ( d ) l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 1 - c o s ( x y ) s e n ( x ) s e n ( y ) = 1 2

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