Calcule os limites

k) lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t - 1

Passo 1

Oi galerinha, tudo certo com vocês? Vamo que vamo pra mais uma questão! A questão nos entrega esse limite:

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t - 1

E pede pra gente resolver. Sem muitas delongas, vamos aplicar o valor que o limite nos entrega e ver o que acontece.

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t - 1

Aplicando t = 1 :

lim x → 1 ⁡ t 4 - 1 t - 1 = 1 - 1 1 - 1

= 0 0

Caímos em uma indeterminação, botam fé? Mas sem pânico... vamos tentar sair dela!

Passo 2

O mais importante aqui nessas questões de limites, é a gente saber várias artimanhas para manipular nossas funções e fugir da indeterminação. Vamos olhar aqui pra o limite da questão:

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t - 1

Mas gente, vocês estão vendo o que estou vendo? Podemos aplicar uma regrinha muito comum em polinômios que é:

a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Justamente na função t 4 - 1 . Aplicando isso, para t 4 - 1 :

a 2 - b 2 = t 4 - 1

t 4 - 1 = ( a + b ) ( a - b )

Temos então que:

a = t 2

b = 1

Portanto:

t 4 - 1 = ( t 2 + 1 ) ( t 2 - 1 )

Reescrevendo no nosso limite:

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t - 1 = lim t → 1 ⁡ ( t 2 + 1 ) ( t 2 - 1 ) t - 1

Passo 3

Tranquilo! E olha que legal: podemos refazer esse processo e simplificar mais ainda a nossa função! Tomando dessa vez ( t 2 - 1 ) :

a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Aplicando isso, para t 2 - 1 :

a 2 - b 2 = t 2 - 1

t 2 - 1 = ( a + b ) ( a - b )

Temos então que:

a = t

b = 1

Portanto:

t 2 - 1 = ( t + 1 ) ( t - 1 )

Reescrevendo no nosso limite:

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t - 1 = lim t → 1 ⁡ ( t 2 + 1 ) ( t + 1 ) ( t - 1 ) t - 1

E nosso limite ficou mais simplificável ainda! Conseguimos sumir com aquele termo do denominador! Tomando:

lim t → 1 ⁡ ( t 2 + 1 ) ( t + 1 ) ( t - 1 ) t - 1

Simplificamos:

Portanto:

lim t → 1 ⁡ ( t 2 + 1 ) ( t + 1 ) ( t - 1 ) t - 1 = lim t → 1 ⁡ ( t 2 + 1 ) ( t + 1 )

Aplicando o valor do limite para t = 1 :

lim t → 1 ⁡ ( t 2 + 1 ) ( t + 1 ) = 1 + 1 1 + 1

= 2 ⋅ 2 = 4

Ou seja:

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t - 1 = 4

E é isso gente boa, matamos a questão!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

lim t → 1 ⁡ t 4 - 1 t - 1 = 4

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