1. Calcule o limite, se existir

d. lim x → 1 ⁡ x 2 - 7 x + 6 x 2 - 4 x + 3

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 1 ⁡ x 2 - 7 x + 6 x 2 - 4 x + 3

A gente sempre começa substituindo o valor na função, ou seja, vamos fazer x = 1 :

lim x → 1 ⁡ x 2 - 7 x + 6 x 2 - 4 x + 3 = 1 2 - 7 1 + 6 1 2 - 4 1 + 3 = 0 0

Eitaaa, caímos numa indeterminação do tipo 0 0 . Bora sair dessa!

Quando a gente cai numa indeterminação, precisamos manipular a função, ou seja, reescrever ela de um jeito diferente. No caso de funções polinomiais, geralmente o que a gente precisa fazer é fatorar os polinômios. E assim, talvez a gente consiga simplificar a função e se livrar da parte que causa a indeterminação. Vamos tentar?

Passo 2

Vamos reescrever essa função! Repara que tanto no numerador como no denominador temos uma equação do segundo grau. E para esse caso temos essa relação aqui:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Onde x 1 e x 2 são as raízes da equação.

Começando pelo numerador, temos que resolver,

x 2 - 7 x + 6 = 0

x = 7 ± - 7 2 - 4 1 + 6 2 1

Deste modo,

x 1 = 6

x 2 = 1

Sendo assim,

x 2 - 7 x + 6 = x - 6 ( x - 1 )

Vamos para o denominador!

Passo 3

Resolvendo o denominador,

x 2 - 4 x + 3 = 0

x = 4 ± - 4 2 - 4 1 + 3 2 1

Deste modo,

x 1 = + 3

x 2 = + 1

Sendo assim,

x 2 + x - 12 = x - 3 ( x - 1 )

Agora vamos voltar para o nosso limite!

Passo 4

Reescrevendo tudo, ficamos com

lim x → 1 ⁡ x 2 - 7 x + 6 x 2 - 4 x + 3 = lim x → 1 ⁡ x - 6 x - 1 x - 3 ( x - 1 )

Simplificando o x - 1 , ficamos com

= lim x → 1 ⁡ x - 6 x - 3

E agora vamos tentar calcular o limite de novo, substituindo x = 1 :

lim x → 1 ⁡ x - 6 x - 1 = 1 - 6 1 - 3 = 5 2

Olha só que coisa. Lembra que eu disse que fatorando, a gente talvez conseguisse se livrar do termo que causava a indeterminação? Pois esse termo era o ( x - 1 ) , e quando a gente corta ele, nem o numerador e nem o denominador dão 0.

Prontinho!

Resposta

5 2

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4