Calcule os seguintes limites (Não é permitido o uso da regra de l´Hôspital):

b. lim t → 0 ⁡ 1 t - 1 t 2 + t

Passo 1

Fala galerinha, tudo tranquilo??? Vamos lá resolver essa questão Qual o primeiro passo a ser tomado numa situação dessa? Primeiro vamos ver o que ocorre ao substituirmos a variável pelo valor que ela está tendendo. Caso não haja uma indeterminação, já teremos a resposta, do contrário, buscaremos um jeito de resolver.

Fazendo isso, temos:

Usando propriedade de limites:

lim t → 0 ⁡ 1 t - 1 t 2 + t =   lim t → 0 ⁡ 1 0 - lim t → 0 ⁡ 1 0 2 + 0

Belezura, separando os limites:

lim t → 0 ⁡ 1 0 = + ∞

Tende a infinito, porque o denominador tende a 0. E imagina um numero qualquer dividido por um numero beeeeem pequeno... poisé: ele fica gigante, ou, infinito. Da mesma forma temos:

lim t → 0 ⁡ 1 0 2 + 0 = ∞

Portanto:

lim t → 0 ⁡ 1 t - 1 t 2 + t = ∞ - ∞

Logo, temos uma indeterminação!!

Assim, precisamos dar um jeito nesses denominadores, pois são eles que estão nos dando problemas (︶^︶)

Passo 2

Show, vamos começar manipulando. O que sugere fazer? Eu acredito somar as duas frações e fazer o possível para simplificar algumas variáveis, nos livrando da indeterminação, é o caminho mais tranquilo pra gente seguir, então simbora!

Vamos modificar primeiro o que está dentro dos parênteses. Pra nossa função:

1 t - 1 t 2 + t

Precisamos primeiro encontrar o M.M.C. Show, temos então que:

M M C = t ( t 2 + t )

Multiplicando-o dentro da nossa função:

t ( t 2 + t ) t t 2 + t ⋅ t - t ( t 2 + t ) t t 2 + t ( t 2 + t )

Agora simplificando:

1 t - 1 t 2 + t = t 2 + t - t t ( t 2 + t )

Colocando o t em evidência e simplificando com o t do denominador:

t 2 + t - t t ( t 2 + t ) = t ( t + 1 - 1 ) t ( t 2 + t )

t ( t + 1 - 1 ) t ( t 2 + t ) = t t 2 + t

Isolando o t no denominador e simplificando com o numerador, temos:

t t 2 + t = t t ( t + 1 )

Simplificando mais ainda:

t t ( t + 1 ) = 1 t + 1

Opaaaaa, agora ela está bem reduzida! Se aplicarmos o limite, temos algo que não tende a 0!

Passo 3

Agora, vamos pegar o que obtivemos e colocar no lugar da antiga expressão que estava dentro do limite

lim t → 0 ⁡ 1 t + 1 = 1 0 + 1

lim t → 0 ⁡ 1 t + 1 = 1

Dessa forma, conseguimos nos sair da indeterminação e chegar ao limite (/◕ヮ◕)/ E é isso gente boa!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

lim t → 0 ⁡ 1 t - 1 t 2 + t = 1

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