Calcule o limite

lim x → 0 ⁡ 1 - cos 3 x e 2 x - 2 x - 1

Passo 1

E aí! Tudo bom? Vamos começar avaliando para onde parece estar indo nossa expressão quando x → 0 .

  • Quando x → 0 , cos 3 x → cos ⁡ 0 = 1 . Logo, nosso numerador tendo para zero.
  • Quando x → 0 , e 2 x → e 0 = 1 e 2 x   → 0 . Logo, nosso denominador também tende para zero!

Indeterminações do tipo 0 / 0 são um prato cheio para aplicarmos a Regra de L’Hôpital! Vamos fazer isso então, trocar nosso limite atual por outro, onde vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos 3 x e 2 x - 2 x - 1 = lim x → 0 ⁡ 0 - - sin 3 x ⋅ 3 e 2 x ⋅ 2 - 2 - 0 = lim x → 0 ⁡ 3 sin ⁡ 3 x 2 e 2 x - 2

Passo 2

Beleza, aplicada a Regra de L’Hôpital, vamos ver o que acontece quando x → 0 .

  • Quando x → 0 , sin 3 x → s in ⁡ 0 = 0 . Logo, nosso numerador tendo para zero.
  • Quando x → 0 , e 2 x → e 0 = 1 . Logo, nosso denominador também tende para zero!

Ué, chegamos na mesma coisa que antes! A nossa expressão contínua dando uma indeterminação do tipo 0 / 0 . Mas aí que está a magia da Regra de L’Hôpital, mesmo que continue dando indeterminação do tipo ∞ / ∞ ou 0 / 0 , a gente sempre pode aplicar de novo para ver se resolve nosso problema. De fato, se agora fizermos uma nova aplicação da Regra de L’Hôpital, temos:

lim x → 0 ⁡ 3 sin ⁡ 3 x 2 e 2 x - 2 = lim x → 0 ⁡ 3 cos ⁡ 3 x ⋅ 3 2 e 2 x ⋅ 2 - 0 = lim x → 0 ⁡ 9 cos ⁡ 3 x 4 e 2 x

Agora não tem mais indeterminação nenhuma! Basta substituir x por 0 e obtemos diretamente nossa resposta:

lim x → 0 ⁡ 9 cos ⁡ 3 x 4 e 2 x = 9 4

Essa resolução te ajudou? 😊 Vamos juntos então para a próxima questão!

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos 3 x e 2 x - 2 x - 1   =   9 4

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4