Calcule os limites

l) lim t → 1 ⁡ t 5 - 1 t - 1

Passo 1

Opa meus lindos!! Vamos pra mais uma questão. A questão pede pra gente resolver o seguinte limite:

lim t → 1 ⁡ t 5 - 1 t - 1

Ué, sem problemas! Vamos aplicar o limite e investigar o que acontece:

lim t → 1 ⁡ t 5 - 1 t - 1

Aplicando t → 1

lim t → 1 ⁡ 1 5 - 1 1 - 1

lim t → 1 ⁡ t 5 - 1 t - 1 = 0 0

Eita, estamos em uma indeterminação... e agora? Calma, vamos analisar o problema. Temos uma divisão de dois polinômios:

t 5 - 1 t - 1

E que quando levados ao valor de t = 1 , ambos polinômios retornam pra gente o valor 0 . Isso significa uma coisa muito útil pra gente: t = 1 é raiz de ambos os polinômios. Mas, no que isso ajuda a gente? Veja, a gente pode reescrever esses dois polinômios sabendo que t = 1 é uma das raízes, isso vai ajudar bastante para mudarmos a cara do nosso limite e fugirmos da indeterminação!

Passo 2

Aqui no numerador, as coisas são um pouco mais trabalhosas. O que rola é o seguinte: já que sabemos uma das raízes e precisamos reescrever esse polinômio em um outro formato:

f 5 t = t - t ' f 4 ( t )

Sendo f 5 ( t ) um polinômio de grau 5 e f 4 ( t ) um polinômio de grau 4.

Lembrando que sabemos quem é x ' , que representa uma das raízes da função. E achamos que t = 1 , portanto:

f 5 t = t - 1 f 4 ( t )

E olha que bacana fica o nosso limite:

lim t → 1 ⁡ t - 1 f 4 ( t ) t - 1

Desenvolvendo ele:

lim t → 1 ⁡ t - 1 f 4 ( t ) t - 1 = lim t → 1 ⁡ f 4 ( t )

Agora só precisamos achar quem é esse f 4 ( t ) . Sabe qual o método que vamos usar para encontra-lo? O método que vai nos mostrar como acontece isso é o método de Briot-Rufini. Se liga que vou te mostrar como ele funciona no próximo passo!

Passo 3

Primeiro passo do Briot-Rufini é armar ela. Se temos uma equação do tipo:

f 5 t = a t 5 + b t 4 + c t 3 + d t 2 + e t + f

E já sabemos uma das raízes r 1 = 1 , podemos montar da seguinte forma:

Como nosso polinômio é:

f 5 t = t 5 - 1

Temos que os coeficientes são:

a = 1

b = 0

c = 0

d = 0

e = 0

f = - 1

Montando no Briot-Rufini:

Show, e agora vem a dinâmica: Primeira coisa é descer o primeiro coeficiente!

Agora, para encontrarmos os prótimos coeficientes, realizaremos:

O produto do último novo coeficiente que achamos, com a raiz r 1 = 1 , somados com o prótimo coeficiente.

Pra ficar mais fácil, visualmente temos:

Ou seja:

1 ⋅ 1 + 0 = 1

E por aí vai. Continuando o método:

1 ⋅ 1 + 0 = 1 + 0 = 1

Para o próximo coeficiente:

1 ⋅ 1 + 0 = 1

Para o próximo coeficiente:

1 ⋅ 1 + 0 = 1

E por fim para a constante:

1 ⋅ 1 - 1 = 0

Belezura, de posse desses novos coeficientes 1 ,     1 , �� 1,1   e   0 , podemos escrever uma nova função f 4 ( t ) da forma:

a t 4 + b t 3 + c t 2 + d t + f

Usando os novos coeficientes que obtemos do método:

f 4 t = t 4 + t 3 + t 2 + t + 1

Ou seja, nosso limite agora é:

lim t → 1 ⁡ f 4 t = lim t → 1 ⁡ t 4 + t 3 + t 2 + t + 1

Resolvendo:

lim t → 1 ⁡ t 4 + t 3 + t 2 + t = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

Ou seja:

lim t → 1 ⁡ t 5 - 1 t - 1 = 5

E é isso gente boa, matamos a questão!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

lim t → 1 ⁡ t 5 - 1 t - 1 = 5

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