1a) Calcule os seguintes limites. Não é permitido o uso da regra de L’Hôspital:

lim x → - 1 ⁡ x 4 - 1 x + 1 3

Passo 1

Opa, vamos lá. A primeira coisa que a gente faz em qualquer limite é substituir e ver o que acontece:

lim x → - 1 ⁡ x 4 - 1 x + 1 3 = - 1 4 - 1 - 1 + 1 3 = 1 - 1 0 3 = 0 0

Xiii, indeterminação! E agora? Bem, já que não conseguimos resolver direto, vamos tentar umas estratégias para resolver isso aí

Passo 2

Saca só, esse limite é uma divisão de polinômios com x → c o n s t a n t e . Nesses casos, vai ser interessante a gente mexer em um deles e ver se cortamos em cima e em baixo. Olha bem o numerador então:

x 4 - 1 = x 2 2 - 1 2

Eita, diferença de quadrados? É isso mesmo galera! E tem um produto notável clássico pra diferença de quadrados:

a 2 - b 2 = a - b a + b

Sendo a = x 2 e b = 1 , vamos ter:

x 4 - 1 = x 2 - 1 x 2 + 1

E o nosso limite fica:

lim x → - 1 ⁡ x 4 - 1 x + 1 3 = lim x → - 1 ⁡ x 2 - 1 x 2 + 1 x + 1 3

Passo 3

Ok, ótima ideia essa do produto notável. Mas ainda não da pra resolver o limite! Veja bem:

lim x → - 1 ⁡ x 2 - 1 x 2 + 1 x + 1 3 = 1 - 1 1 + 1 - 1 + 1 3 = 0 0

A indeterminação ainda não sumiu! Mas relaxa gafanhoto, porque olha só esse pedaço aqui:

x 2 - 1

Continua uma diferença de quadrados! Sendo assim, se dessa vez a = x e b = 1 , temos:

a 2 - b 2 = a - b a + b

x 2 - 1 = x - 1 x + 1

Sendo assim, reescrevemos o limite para:

lim x → - 1 ⁡ x 2 - 1 x 2 + 1 x + 1 3 = lim x → - 1 ⁡ x - 1 x + 1 x 2 + 1 x + 1 3

Agora sim em! Só cortar o x + 1 em cima e em baixo:

lim x → - 1 ⁡ x - 1 x + 1 x 2 + 1 x + 1 3 = lim x → - 1 ⁡ x - 1 x 2 + 1 3

E agora, substituindo:

lim x → - 1 ⁡ x - 1 x 2 + 1 3 = - 1 - 1 1 + 1 3 = - 2 2 3 = - 4 3

Resposta

lim x → - 1 ⁡ x 4 - 1 x + 1 3 = - 4 3

Exercícios de Livros Relacionados

Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Calcule o limite, se existir.16) lim x → - 1 ⁡ x ² - 4 x x ² - 3 x - 4 ² ²
Use uma tabela de valores para estimar o valor do limite. Se você tiver alguma ferramenta gráfica, use-a para confirmar seu resultado. lim x → 1 ⁡ x 6 - 1 x 10 - 1