Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

Aula teórica, Fenômenos de Transporte, Profª. Érica Cristine

Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas seções. A área (1) é 20   c m 2 , enquanto a da garganta (2) é 10   c m 2 . Um manômetro, cujo fluido manométrico é mercúrio, é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi.

Considere ρ H g = 13600   kg/ m 3

Passo 1

Queremos encontrar a vazão:

Q = A v = constante

⇒ Q = A 1 v 1 = A 2 v 2

Para isso, precisamos da área e velocidade na seção (1) ou na seção (2).

Perceba que temos A 1 e A 2 .

Pela equação da continuidade, podemos relacionar v 1 e v 2 :

A 1 v 1 = A 2 v 2

⇒ v 1 v 2 = A 2 A 1

⇒ v 1 = A 2 A 1 v 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo valores:

v 1 = A 2 A 1 v 2

⇒ v 1 = 10   c m 2 20   c m 2 v 2

⇒ v 1 = 1 2 v 2

Observe que não podemos determinar os valores de v 1 e v 2 , mas podemos relacioná-los.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2).

Passo 3

Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2):

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

Se liga: Nesse caso, estamos aplicando a equação de Bernoulli em dois pontos do mesmo fluido.

Por isso temos uma mesma densidade ρ nos dois lados da igualdade. É bom ficar atento pois, como existe outro fluido na questão, você pode acabar se confundindo.

Passo 4

Hipótese: como o escoamento é horizontal, desconsideramos diferença de alturas:

h 1 = h 2

Logo:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

⇒ p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

Passo 5

Rearranjando:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 2 ρ v 1 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2

Vamos lembrar que v 1 e v 2 estão relacionadas pela equação da continuidade:

v 1 = 1 2 v 2

Passo 6

Substituindo:

p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 2 v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 4 v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 1 - 1 4

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 3 4

⇒ p 1 - p 2 = 3 8 ρ v 2 2

Passo 7

Isolando v 2 :

⇒ p 1 - p 2 = 3 8 ρ v 2 2

⇒ ρ v 2 2 = 8 3 p 1 - p 2

⇒ v 2 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

⇒ v 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

Agora, note que não conhecemos ainda p 1 - p 2 .

Para isso, aplicamos o Princípio de Stevin no manômetro em “U”.

Passo 8

Aplicando Princípio de Stevin nos pontos (A) e (B):

p A = p B

⇒ p 1 = p 2 + ρ H g g h

⇒ p 1 - p 2 = ρ H g g h

onde ρ m é a densidade do mercúrio e   h é a altura da coluna de mercúrio.

Pela figura:

h = 10   cm = 0,1   m

Agora é só substituir os valores para determinar p 1 - p 2 .

Passo 9

Substituindo valores:

p 1 - p 2 = ρ H g g h

⇒ p 1 - p 2 = 13600 × 9,8 × 0,1

⇒ p 1 - p 2 = 1,33 × 10 4   Pa

Passo 10

Substituindo na equação anterior, para encontrar v 2 :

v 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

⇒ v 2 = 8 × 1,33 × 10 4 3 × 1000

⇒ v 2 ≅ 6,0     m/s

Passo 11

Agora podemos substituir v 2 para encontrar a vazão:

Q = A 2 v 2

⇒ Q = 10   c m 2 × 6,0   m / s

Precisamos converter unidades.

Passo 12

Convertendo unidades:

Convertendo A 2 :

1   cm = 10 - 1   dm

⇒ 1   cm 2 = 10 - 1   dm 2

⇒ 1   c m 2 = 10 - 2   d m 2

10   c m 2 = 10 × 10 - 2   d m 2

⇒ 10   c m 2 = 1 × 10 - 1   d m 2

Convertendo v 2 :

1   m = 10   dm

v 2 = 6,0   m/s

⇒ v 2 = 6,0 × 10   dm/s

⇒ v 2 = 60   dm/s

Passo 13

Substituindo com unidades convertidas:

Q = A 2 v 2

⇒ Q = 1 × 10 - 1   d m 2 × 60 dm / s

⇒ Q = 6,0  d m 3 /s

⇒ Q = 6,0   l/s

Resposta

Q = 6   l/s  

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