Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

UERJ-LISTA-MF-19

Um tanque contém água até uma altura H . É feito um pequeno orifício na sua parede à profundidade h da superfície, conforme a figura.

a ) Mostre que a distância x   da base da parede até onde o jato atinge o solo é dada por x = 2 h H - h .

b )   Calcule a profundidade do buraco para que o jato emergente atinja o solo a uma distância máxima da base do tanque.

Passo 1

Primeiramente: Vamos analisar o problema sob a ótica da equação de Bernoulli, comparando o nível 1 ao nível 2 do fluído (conforme a figura). Dessa forma, vamos conseguir obter a velocidade do fluido no nível 2, o que permitirá resolver o resto da questão. Vamos obter as informações necessárias de cada nível:

Nível 1:

Altura da coluna de líquido:   H P 1 = P a t m v 1 = 0   (a superfície é estática)

Nível2:

Altura da coluna de líquido:   H -   h P 2 = P a t m v 2 =   ?

Vamos equacionar agora:

P 1 + ρ g H = P 2 + ρ g ( H - h ) + 1 2 ρ v 2 2

Como P 1 = P 2 = P a t m , podemos cortar as pressões em ambos os lados da equação. Nesse ponto, a gente costuma ficar em dúvida sobre o por quê da pressão no ponto 2 ser a pressão atmosférica, e não a pressão hidrostática causada pela coluna de líquido de altura h ....

Bom, a resposta é simples: Estamos considerando um ponto que está na iminência de sair do tanque e não exatamente dentro do tanque! Ou seja, é como se estivéssemos analisando um ponto que já está fora do tanque e, por isso, sujeito a pressão atmosférica do lado de fora!

Continuando...

P 1 + ρ g H = P 2 + ρ g ( H - h ) + 1 2 ρ v 2 2 ρ g H - ρ g H + ρ g h = 1 2 ρ v 2 2 v 2 = 2 g h

Com esse valor, agora vamos poder resolver os itens a ) e b ) (:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nos passos seguintes, nós vamos usar conceitos de cinemática. O movimento do fluído após sair pelo orifício, no nível 2, é obliquo. Bom, a velocidade v 2 é puramente horizontal, já que o fluido é expelido perpendicularmente à parede do tanque! Logo, a distância x pode ser expressa por:

x = v 2 ⋅ t q (eq.1)

No qual t q é o tempo de queda do fluido.

Bom, como a altura que as partículas do fluido vão percorrer é   H - h (olhe a figura),e o movimento na vertical em um lançamento obliquo é um M U V ,é possível escrever:

1 2   g t q 2 = ( H - h )

Isolando t q :

t q = 2 H - h g

Substituindo o valor de v 2 e t q na eq.1:

x = v 2 ⋅ t q x = 2 g h ⋅ 2 H - h g = 2 h H - h  

Pronto, essa demonstração é a solução da a ) (:

Passo 3

Vamos para a letra b )

Precisamos achar uma altura h tal que a distância x seja máxima. Bem, utilizaremos aquele velho conceito de máximos e mínimos de funções de uma variável de cálculo. Podemos considerar a relação encontrada anteriormente de x h , ou seja, uma função de h :

x ( h ) = 2 h H - h  

No entanto, é fácil perceber que essa função terá um máximo quando a expressão h H - h tiver um máximo. Fazendo F h = h ( H - h ) , vamos encontrar o máximo dessa função, que é do segundo grau. Derivando em relação a h :

F ' h = - 2 h + H

Igualando F ' h   a zero:

F ' h = - 2 h + H = 0 h = H 2

Pronto, essa é a resposta da letra b )   (:

Resposta

b )   h = H 2

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