Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

A figura abaixo mostra um jorro de água saindo por um furo a uma distância h da superfície de tanque cuja altura da água é H.

a) Calcule a que distância x que a água atinge o solo em termos de h e H.

b) A que profundidade deve ser feito um segundo furo para dar o mesmo valor de x?

c) Calcule a profundidade para a qual a distância que a água atinge o solo é máxima.

Passo 1

a) Aqui, temos uma questão de cinemática, onde o movimento horizontal é um movimento retilíneo uniforme com velocidade v, e o vertical é um movimento retilíneo uniformemente acelerado, com aceleração g.

Na horizontal,

x = v t

Na vertical,

H - h = 1 2 g t 2

t = 2 H - h g

Jogando o tempo em x ,

x = v 2 H - h g

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Só que a velocidade não é um dado do problema, apenas H e h.

Como podemos calcular a velocidade de saída então?

Se pensarmos numa linha de corrente que sai da superfície do líquido e vai até o furo, saindo com velocidade v , podemos aplicar a equação de Bernoulli

P 1 + ρ g h 1 + 1 2 ρ v 1 2 = P 2 + ρ g h 2 + 1 2 ρ v 2 2

Na superfície do líquido, a pressão é a atmosférica ( P 1 = P a t m ), a velocidade é praticamente nula ( v 1 = 0 ) e a altura em relação a altura do furo é h 1 = h . No furo, a pressão também é somente a atmosférica ( P 2 = P a t m ), a altura em relação ao furo é ( h 2 = 0 ) e a velocidade queremos descobrir ( v 2 = v ). Substituindo

P a t m + ρ g h + 0 = P a t m + 0 + 1 2 ρ v 2

v = 2 g h

(O valor mágico da hidrodinâmica)

Substituindo em x,

x = 2 g h   2 H - h g

x = 2 h H - h

Passo 3

b) Para qual h obtemos o mesmo valor de x?

Para resolver isso, presta atenção que a equação que temos para x tem uma raiz quadrada. Se elevarmos ao quadrado, teremos uma equação do segundo grau. Equações do segundo grau tem duas raízes, uma que é o h que já temos, e o outro é o segredo do sucesso. Vamos lá:

x 2 = 4 ( h ( H - h ) )

x 2 = 4 H h - 4 h 2

Queremos calcular para h,

4 h 2 - 4 H h + x 2 = 0

Fazendo uma bhaskara aqui

h = 4 H ± 16 H 2 - 4 ∙ 4 ∙ x 2 2 ∙ 4

h = H ± H 2 - x 2 2

São os dois valores possíveis para que tenhamos o mesmo valor de x.

Passo 4

c) Qual a profundidade (h) para o alcance ( x ) ser máximo?

Para ser máximo, a derivada tem que ser igual a zero,

d x d h = 0

d d h 2 h H - h = 2 d d h H h - h 2 1 2

2 1 2 H h - h 2 - 1 2 H - 2 h = 0

H - 2 h H h - h 2 = 0

Daí tiramos que o numerador tem que ser zero,

h = H 2

Resposta

a) x = 2 h H - h

b) h = H ± H 2 - x 2 2

c) h = H 2

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