Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

A figura mostra um sifão, que é um tubo usado para transferir líquidos de um recipiente para outro. O tubo ABC deve estar inicialmente cheio e nesta condição o líquido escoa pelo tubo até que a superfície do líquido no recipiente esteja no mesmo nível que a extremidade A do tubo. O líquido tem uma massa específica de 1000 kg/m³ e viscosidade desprezível. As distâncias mostradas na figura são h1= 25 cm e h2= 45 cm. Considere a área da seção reta do sifão constante.

a)Determine o módulo da velocidade do líquido no ponto C.

b)Se a pressão atmosférica é 1x105Pa, qual é a pressão do líquido em B, o ponto mais alto do tubo?

c)Teoricamente, até que altura máxima h1esse sifão pode fazer a água subir?

Passo 1

a) Para achar a velocidade em C, vamos aplicar Bernoulli. Mas eu vou aplicar Bernoulli entre o ponto C e um ponto D na altura da superfície do fluido, dentro do tubo. Assim ó:

Então aplicando Bernoulli:

p D + ρ g h D + ρ v D 2 2 = p C + ρ g h C + ρ v C 2 2

Eu vou tomar o ponto C como referencial, ok? Então h C = 0 .

As pressões p C e p D vão ser iguais à pressão atmosférica. Porque o ponto C está voltado para a atmosfera e o ponto D está na superfície do fluido onde a pressão é a atmosférica.

Ah, mas o fato de o ponto D estar dentro do tubo não influencia? NÃO, porque podemos aproximar a velocidade em D por zero. Então é como se fosse regime hidrostático.

A velocidade no ponto D também vai ser zero!

Eiiiii! Repara que se eu usasse o ponto A em vez do ponto D eu não poderia fazer essas aproximações! Então cuidado, não caia nessas pegadinhas.

Resumindo o rock, uma galera vai ser zerada ou cortada na equação de Bernoulli. Reescrevendo:

ρ g h D = ρ v C 2 2

ρ g h 2 = ρ v C 2 2

v C = 2 g h 2

v C = 2 ∙ 10 ∙ 0,45

v C = 3   m / s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Vou aplicar Bernoulli de novo! Dessa vez entre os pontos B e D.

p D + ρ g h D + ρ v D 2 2 = p B + ρ g h B + ρ v B 2 2

Veja que v B = v C !

Por quê??????

Porque pequeno Padawan a área no tubo é constante! Pela equação da continuidade:

A C v C = A B v B

v C = v B

Substituindo então:

100000 + 1000 ∙ 10 ∙ 0,45 = p B + 1000 ∙ 10 ∙ 0,7 + 1000 ∙ ( 3 ) 2 2

p B = 93000   P a

Passo 3

c) Ó, vou aplicar Bernoulli de novo entre os pontos B e D. Mas nesse caso h1 vai ser uma altura desconhecida que eu quero achar. Então:

p B + ρ g h 1 + h 2 + ρ v B 2 2 = p a t m + ρ g h 2

p B = p a t m - ρ g h 1 - ρ v B 2 2

Agora que vem o pulo do gato! Na altura máxima, a pressão vai ser zero! Então:

p B = 0

0 = p a t m - ρ g h 1 - ρ v B 2 2

ρ g h 1 = p a t m - ρ v B 2 2

1000 ∙ 10 ∙ h 1 = 100000 - 1000 ∙ ( 3 ) 2 2

h 1 = 9,55   m

Resposta

a) v C = 3   m / s

b) p B = 93000   P a

c) h 1 = 9,55   m

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