Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

Equação da continuidade, Equação de Bernoulli

Considere o encanamento abaixo, por onde corre horizontalmente, em regime estacionário, um fluido não viscoso de densidade ρ . A extremidade do cano vertical está aberta para a atmosfera e a coluna de líquido nele contida não cai.

Considere conhecidas a pressão P A , a seção reta S A e a velocidade v A no ponto A , a altura h do cano vertical, a gravidade g e a pressão atmosférica P 0 .

  1. Quais a velocidade v B e a pressão P B do fluido no ponto B em função da seção reta S B no ponto B ?
  2. Discuta o sinal de Δ p A B ≡ P A - P B a partir das expressões obtidas no item anterior.
  3. Qual o valor de S B para que a coluna vertical de líquido não caia?

Passo 1

Resolvendo item (a):

Queremos a velocidade e pressão no ponto B . O enunciado nos diz que a seção reta em B é S B .

Isso tem cara de equação da continuidade e equação de Bernoulli.

Aplicando a equação da continuidade entre os pontos A e B :

S A v A = S B v B

⇒ v B = S A S B v A

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Passo 2

Aplicando equação de Bernoulli entre os pontos A e B :

P A + 1 2 ρ v A 2 + ρ g h A = P B + 1 2 ρ v B 2 + ρ g h B

Como h A = h B , podemos eliminar o último termo de cada lado, pois são iguais:

P A + 1 2 ρ v A 2 = P B + 1 2 ρ v B 2

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 - 1 2 ρ v B 2

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 - v B 2

A pressão P A e a velocidade v A foram dadas e podemos substituir v B pelo que encontramos:

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 - S A S B v A 2

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 - S A S B 2 v A 2

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2

Passo 3

Resolvendo item (b):

Δ p A B = P A - P B

Pelo que acabamos de calcular:

P B = P A + 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2

⇒ P B - P A = 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2

Multiplicando por - 1 nos dois lados:

⇒ P A - P B = - 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2

⇒ P A - P B = 1 2 ρ v A 2 S A S B 2 - 1

Logo:

Δ p A B = 1 2 ρ v A 2 S A S B 2 - 1

Passo 4

Vamos analisar o sinal dessa expressão.

Para isso, basta analisarmos o termo entre colchetes, pois ρ e v A 2 são sempre positivos.

Sabemos, pela figura, que S A > S B

Logo:

S A S B > 1

Ao quadrado:

S A S B 2 > 1

⇒ S A S B 2 - 1 > 0

Logo, o termo entre colchetes também é positivo.

Então Δ p A B é positivo!

Passo 5

Resolvendo item (c):

Se você achou estranho essa coluna de líquido “flutuando”, saiba que não foi só você que achou isso!

Mas o fato é que, se essa coluna está parada, vale a equação da hidrostática:

p = p 0 + ρ g h

Olhando para a coluna de líquido, sabemos que, no fundo da coluna, a pressão é P 0 , a pressão no topo é P B e a profundidade é h .

Logo:

P 0 = P B + ρ g h

Se isso não te convenceu, podemos fazer de outra maneira.

Passo 6

Se você entendeu o passo anterior, pode pular para o passo 7!

Como essa coluna está parada, então a soma das forças que atuam nela é zero!

Fazendo o diagrama de corpo livre na coluna de líquido:

Note que, na parte superior da coluna, temos a pressão P B aplicada na área superior; e, na parte inferior, temos a pressão atmosférica P 0 atuando na área inferior.

Além disso, temos o peso da coluna de líquido.

Lembrando que pressão é força sobre área, podemos calcular as forças nas extremidades da coluna de líquido, multiplicando as pressões P B e P 0 pela área, que podemos chamar de A :

P B = F B A ⇒ F B = P B × A

P 0 = F 0 A ⇒ F 0 = P 0 × A

Além disso, o peso é calculado como M g , sendo M a massa total do líquido.

Pela figura, a força F B aponta para baixo e a força P 0 aponta para cima.

Somando as forças e igualando a zero:

F 0 - F B - M g = 0

⇒ P 0 A - P B A - M g = 0

Nós não sabemos o valor da área A da coluna de líquido, nem a massa M , mas sabendo sua altura h .

Lembrando que volume é área vezes altura, podemos eliminar essa área da equação substituindo M pelo produto da densidade pelo volume:

ρ = M V ⇒ M = ρ V

Mas V = A h , então:

M = ρ A h

Substituindo na equação:

P 0 A - P B A - M g = 0

⇒ P 0 A - P B A - ρ A h g = 0

Cancelando A :

P 0 - P B - ρ g h = 0

⇒ P 0 = P B + ρ g h

Uau! Que volta! Mas o resultado é o mesmo. Te convenci?

Passo 7

Agora é só substituir P B na equação que encontramos:

P 0 = P B + ρ g h

⇒ P B = P 0 - ρ g h

⇒ P A + 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2 = P 0 - ρ g h

Mas o que queremos mesmo?

Ah, sim! A área S B . Então vamos isolar S B :

P A + 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2 = P 0 - ρ g h

⇒ 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2 = P 0 - ρ g h - P A

⇒ 1 - S A S B 2 = P 0 - ρ g h - P A 1 2 ρ v A 2

⇒ 1 - S A S B 2 = 2 P 0 - P A - ρ g h ρ v A 2

⇒ - S A S B 2 = 2 P 0 - P A - ρ g h ρ v A 2 - 1

Multiplicando por - 1 os dois lados:

⇒ S A S B 2 = - 2 P 0 - P A - ρ g h ρ v A 2 + 1

⇒ S A S B 2 = 2 P A - P 0 + ρ g h ρ v A 2 + 1

⇒ S A S B = 2 P A - P 0 + ρ g h ρ v A 2 + 1

⇒ S A = S B 2 P A - P 0 + ρ g h ρ v A 2 + 1

⇒ S B = S A 2 P A - P 0 + ρ g h ρ v A 2 + 1

Pronto! Esse monstrinho é o que procurávamos!

Resposta

  1. v B = S A S B v A

    P B = P A + 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2

  2. Δ p A B > 0

S B = S A 2 P A - P 0 + ρ g h ρ v A 2 + 1

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