Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

Um regador é formado por uma garrafa plástica, perfurada por 20 furos de área 2 mm2 cada um, á qual se liga uma mangueira de água como na figura. Quando abrimos a torneira, a água escapa pela garrafa de modo que todos os furos têm a mesma velocidade de saída da água, vs. Considere a garrafa como um cilindro de diâmetro 10 cm. Sabendo que um dos jatos é emitido na vertical e alcança altura máxima de 1,25 m, calcule:

a) A velocidade de saída da água, vs, e a vazão total do regador.

b) Considerando a velocidade da água dentro da garrafa como sendo pequena (aproximadamente zero), obtenha a pressão manométrica da água dentro da garrafa. Você pode considerar as dimensões da garrafa como pequenas e desprezá-las.

c) Suponha que a garrafa aguenta uma pressão manométrica máxima de 8 atm. Assim, se aumentamos continuamente a pressão na mangueira e,consequentemente, a velocidade de vazão da água pelos furos, calcule a vazão máxima de água pelo regador imediatamente antes dele estourar.

Passo 1

a) O jato vai alcançar uma altura máxima de 1,25 m. Nessa altura, a energia cinética vai ser zero, ou seja, a velocidade é zero.

Lembrando lá da mecânica, podemos usar a fórmula de Torricelli:

v 2 = v s 2 + 2 a ∆ S

0 = v s 2 - 2 × 10 × 1,25

v s 2 = 25

v s = 5   m / s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que temos v s podemos calcular a vazão total. Ela vai ser:

Q = A v s

Em que A é a área total dos furos. Então:

Q = 20 × 2 × 10 - 6 × 5

Lembrando que essa área de cada furo eu tive que transformar pro SI, metros cúbicos. Então:

Q = 2 × 10 - 4   m 3 / s

Passo 3

b) Eu vou aplicar Bernoulli entre um ponto no interior da garrafa (1) e um ponto na saída de um dos furos (2):

p 1 + ρ g h 1 + ρ v 1 2 2 = p 2 + ρ g h 2 + ρ v 2 2 2

Show! Eu vou considerar também que o ponto que eu peguei no interior da garrafa tá na mesma altura h dos furos, ou seja: h 1 = h 2 .

A questão disse pra gente que a velocidade no interior da garrafa é próxima de zero. Então v 1 = 0 .

Por último, repare que v 2 = v s , a velocidade de saída da água nos furos. Então:

p 1 = p 2 + ρ v s 2 2

p 1 - p 2 = ρ v s 2 2

E a pressão que a gente quer descobrir, manométrica, é exatamente p 1 - p 2 . Substituindo:

p 1 - p 2 = ρ v s 2 2 = 1000 × ( 5 ) 2 2

p 1 - p 2 = 12,5   k P a

Passo 4

c) Nós já achamos a pressão manométrica no item anterior! Vai ser:

p 1 - p 2 = ρ v s 2 2

E essa pressão manométrica vai ser de 8 atm. Lembrando que:

8   a t m = 8,1 × 10 5   P a

Aproximadamente!

Então:

p 1 - p 2 = ρ v s 2 2 = 8,1 × 10 5

Substituindo ρ :

v s 2 = 2 × 8,1 × 10 5 1000

v s = 1620

v s ≅ 40   m / s

Passo 5

Voltando na vazão:

Q = A v s

Q = 20 × 2 × 10 - 6 × v s = 20 × 2 × 10 - 6 × 40

Q = 1,6 × 10 - 3   m 3 / s

Resposta

a) v s = 5   m / s e Q = 2 × 10 - 4   m 3 / s

b) p 1 - p 2 = 12,5   k P a

c) Q = 1,6 × 10 - 3   m 3 / s

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