Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

Um tubo horizontal tem seção reta A 1 na parte mais larga e seção reta A 2 na parte mais estreita. O tubo possui um pistão que quando pressionado, aplica, ao atingir o regime estacionário, uma pressão P 1 e uma velocidade v 1 ao ar na parte larga do tubo. A parte estreita do tubo está conectada por um canudo vertical a um recipiente aberto contendo água. A distância vertical entre o tubo horizontal e a superfície livre da água é d . Considere conhecidas as densidades do ar ρ e da água ρ ’ , a aceleração da gravidade local g e a pressão atmosférica p o . Faça a aproximação de que o ar seja incompressível.

a) Determine a pressão p 2 na parte estreita em função da pressão e da velocidade na parte larga do tubo e da razão entre as seções retas.

b) Determine a altura z da coluna de água no canudo vertical.

c) Determine a razão A 1 / A 2 necessária para que a água seja aspirada através do canudo, entrando no tubo horizontal.

Passo 1

Letra a : Primeiramente, vamos lembrar de duas equações: a equação de Bernoulli e a equação da continuidade.

Para falarmos da equação de Bernoulli, imagine a situação dada na imagem abaixo.

Na altura z a , o fluido possui uma pressão p a e uma velocidade v a . Na altura z b , o fluido possui uma pressão p b e uma velocidade v b . A equação de Bernoulli nos diz que todas essas quantidades se relacionam por p a + 1 2 ρ v a 2 + ρ g z a =   p b + 1 2 ρ v b 2 + ρ g z b

sendo ρ a densidade do fluido (considerada constante) e g a aceleração da gravidade.

Falaremos agora da equação da continuidade. Considere novamente a figura anterior.

No ponto onde a área da seção reta é A a a velocidade do fluido é v a . Já no ponto onde a área da seção reta é A b a velocidade do fluido é v b . Para fluidos incompressíveis (densidade constante), a equação da continuidade nos diz que A a × v a = A b × v b

ou seja, se a área da seção reta diminui num ponto, a velocidade do fluido aumenta neste mesmo ponto, e vice-versa.

Isso pode ser visto quando lavamos a varanda de casa com uma mangueira. Ao apertamos a ponta da mangueira que sai água (diminuímos a área da seção reta, aumentamos a velocidade da água, e assim o seu alcance (a água vai mais longe).

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Passo 2

Para determinar a pressão p 2 , aplicaremos a equação de Bernoulli em nosso tubo nos pontos cuja áreas da seção reta são A 1 e A 2 .

Como esses pontos estão sobre o eixo do tubo (que está na horizontal), então ambos os pontos estão a uma mesma altura do solo, isto é, z 1 = z 2 = h . Não confunda com a altura z do líquido dentro do canudo!!!Deste modo, temos que p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h

p 2 + 1 2 ρ v 2 2 =   p 1 + 1 2 ρ v 1 2

p 2 = p 1 + 1 2 ρ v 1 2 - v 2 2

p 2 = p 1 + 1 2 ρ v 1 2 1 - v 2 v 1 2

Agora, vamos utilizar a equação da continuidade. Sabemos que nos pontos onde a seção reta possui áreas A 1 e A 2 , temos que A 1 v 1 = A 2 v 2                       ↔                     v 2 v 1 = A 1 A 2 Portanto, p 2 = p 1 + 1 2 ρ v 1 2 1 - A 1 A 2 2

Passo 3

Letra b : Para determinar a altura z do líquido dentro do canudo, utilizaremos a lei de Stevin. Considere a figura abaixo.

Na figura anterior, temos que no topo do canudo a pressão é p 2 , enquanto que na bacia de água (onde o canudo está mergulhado) a pressão é igual a atmosférica p 0 .

Assim, pela lei de Stevin, temos que p 0 = p 2 +   ρ g d - z + ρ ' g z

sendo ρ a densidade do ar e ρ ' a densidade da água.

Podemos escrever a equação anterior da seguinte forma p 0 = p 2 + ρ ρ ' d z - 1 + 1 ρ ' g z

onde colocamos ρ ' g z em evidência nos dois últimos termos. Veremos no próximo passo o porquê disso.

Passo 4

Poderíamos isolar o z da equação anterior e resolver o item. No entanto, para facilitar nossa vida, faremos uma aproximação. Consideraremos que a densidade da água ρ ' é muito maior que a densidade do ar ρ , isto é, ρ ' ≫ ρ                     ↔                   ρ ρ ' ≪ 1

Para uma pressão de 1   a t m e uma temperatura de 25   ° C , a densidade do ar é 1,18   k g / m 3 e da água é 997,07   k g / m 3 . Se pensarmos bem, essa consideração não é absurda, né?

Deste modo, quando olhamos a equação p 0 = p 2 + ρ ρ ' d z - 1 + 1 ρ ' g z

vemos que o termo que multiplica   ρ / ρ ' pouco contribui na equação, pois ρ / ρ ' ≪ 1 . Deste modo, podemos desconsiderá-lo da equação e aproximar a mesma por

p 0 ≅ p 2 + ρ ' g z

Assim, isolando z , temos que z ≅ p 0 - p 2 ρ ' g

Passo 5

Letra c : Mostramos no primeiro item que a pressão p 2 pode ser escrita como p 2 = p 1 + 1 2 ρ v 1 2 1 - A 1 A 2 2

Assim, se isolarmos A 1 / A 2 , temos que

p 2 - p 1 = 1 2 ρ v 1 2 1 - A 1 A 2 2 2 p 2 - p 1 ρ v 1 2 = 1 -   A 1 A 2 2 A 1 A 2 = 1 - 2 p 2 - p 1 ρ v 1 2 Ainda não terminamos!! Precisamos saber a pressão p 2 na qual a água é aspirada através do canudo entrando no tubo horizontal.

Para determinar essa pressão p 2 , podemos lembrar do item anterior. Mostramos que na aproximação de ρ ' ≫ ρ , a pressão p 2 satisfaz p 0 ≅ p 2 + ρ ' g z                     ↔                     p 2 ≅ p 0 -   ρ ' g z

Assim, quando a água é aspirada pelo canudo, significa que a altura z da coluna de água é igual a distância d (pois a água subiu até o tubo horizontal!). Logo, p 2 ≅ p 0 -   ρ ' g d

Agora sabemos a pressão p 2 na qual a água é aspirada pelo canudo. Deste modo, substituindo na equação de A 1 / A 2 , temos que A 1 A 2 ≅ 1 - 2 p 0 -   ρ ' g d - p 1 ρ v 1 2

Resposta

a   p 2 = p 1 + 1 2 ρ v 1 2 1 - A 1 A 2 2

b   z ≅ p 0 - p 2 ρ ' g

c   A 1 A 2 ≅ 1 - 2 p 0 -   ρ ' g d - p 1 ρ v 1 2  

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