Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

O tubo horizontal mostrado na figura abaixo tem uma seção transversal de área de A 1 = 20 c m 2 na parte mais larga e A 2 = 10 c m 2 na parte mais estreita, como indicado na figura. A água está escoando pelo tubo com uma vazão de 6 × 10 - 3 m 3 / s . Esse tubo é conectado a outro tubo em formato U, contendo uma coluna de mercúrio. Ache:

(a) A velocidade de escoamento na parte mais larga v 1 e na parte mais estreita v 2 .

(b) A diferença de pressão entre essas duas localizações considerando pontos de mesma altura.

(c) A diferença de altura h entre as colunas de mercúrio no tubo em formato de U.

Dados:

ρ á g u a = 1 × 10 3 k g / m 3

ρ m e r = 13,5 × 10 3   k g / m 3

g = 10 m / s 2

Passo 1

Pra achar essa velocidade temos que lembrar que a vazão em volume é dada por

V = A v

Na parte mais larga temos que v 1 será dada por

v 1 = V A 1 = 6 × 10 - 3 20 × 10 - 4

v 1 = 3 m / s

Já na parte mais estreita

v 2 = V A 2 = 6 × 10 - 3 1 0 × 10 - 4

v 2 = 6 m / s

Lembrando que A 1 = 10 c m 2 = 10 10 - 2 m 2 = 10 × 10 - 4 m 2 e A 2 = 2 0 c m 2 = 2 0 10 - 2 m 2 = 2 0 × 10 - 4 m 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular a diferença de pressão podemos usar a equação de Bernoulli

ρ g h 1 + 1 2 ρ v 1 2 + p 1 = ρ g h 2 + 1 2 ρ v 2 2 + p 2

Como os dois pontos estão a mesma altura h 1 = h 2

1 2 ρ v 1 2 + p 1 = 1 2 ρ v 2 2 + p 2 → p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2 = 1 2 10 3 6 2 - 3 2

p 1 - p 2 = 1,35 × 10 4   P a

Passo 3

Do lado esquerdo do tubo em U na interface água/mercúrio a pressão é dada por

p e s q = p 1 + ρ á g u a g ( h + x )

Onde p 1 é a pressão acima dessa interface onde tem vazão do fluido e x + h é a altura dessa coluna de água até o ponto onde a pressão é p 1

Já a pressão do lado direito do tubo em U, a mesma altura da interface água/mercúrio do lado esquerdo é dada por

p d i r = p 2 + ρ m e r g h + ρ á g u a g x

Onde h é a altura da coluna de mercúrio em relação ao nível da interface água/mercúrio, como na figura, e x   é a altura da coluna de água acima da coluna de mercúrio.

Pelo princípio de Stevin

p e s q = p d i r

p 1 + ρ á g u a g h + x = p 2 + ρ m e r g h + ρ á g u a g x

p 1 + ρ á g u a g h + ρ á g u a g x = p 2 + ρ m e r g h + ρ á g u a g x

p 1 - p 2 = g h ρ m e r - ρ á g u a

h = p 1 - p 2 g ρ m e r - ρ á g u a = 1,35 × 10 4 10 × 13,5 × 10 3 - 1 × 10 3

h = 1,08 × 10 - 1 m

Resposta

(a)

v 1 = 3 m / s

v 2 = 6 m / s

(b)

p 1 - p 2 = 1,35 × 10 4   P a

(c)

h = 1,08 × 10 - 1 m

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