Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

UFRJ-P1-2014.2-D2

A água sai de uma torneira aberta de forma a formar um feixe que se afina, sem se dividir, conforme a água flui em direção ao ralo, como indica a figura. Supondo que a seção transversal deste feixe se mantém circular no decorrer do fluxo, com raio r 0 e velocidade da água v 0 imediatamente após sair da torneira, e considerando a água um fluido incompressível sem viscosidade (considere a aceleração da gravidade g conhecida), estime:

  1. A velocidade do fluido v ( h ) , em função da diferença de altura h a partir da torneira.
  2. O raio de seção transversal do feixe, r ( v ) em função do módulo de velocidade v → nesta seção do fluido.
  3. O raio de uma seção transversal de um feixe, r ( h ) , agora em função da diferença de altura h a partir da torneira.

Passo 1

a)Vamos usar Bernoulli aqui!

Vamos fazer assim: O ponto de altura zero será o ponto onde as moléculas do fluido terão uma velocidade v ( h ) . A altura cresce de baixo pra cima.

Então, calculando entre esse ponto e o ponto da boca da torneira:

ρ v 0 2 2 + ρ g h + P 0 = ρ v h 2 2 + P 0

v h 2 = v 0 2 + 2 g h   → v h = v 0 2 + 2 g h

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Aqui a gente usa o principio da continuidade, ou seja:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Vamos tomar A 1 v 1 como a vazão que a gente calcula bem na boca da torneira. Como ela tem raio r 0 :

A 1 = r 0 2 π

Então:

A 1 v 1 = r 0 2 π v 0

A outra vazão é calculada pelo produto da área da seção que vai diminuindo( r v 2 π ) pela velocidade v . Então:

A 2 v 2 = r v 2 π . v

Igualando as duas:

r 0 2 π v 0 = r v 2 π . v   → r v = r 0 v 0 v

Passo 3

c)

Po, bem tranquila essa. Já temos a equação da velocidade em função da altura em a), basta a gente substituir na equação encontrada em b):

r v = r 0 v 0 v   → r h = r 0 v 0 v 0 2 + 2 g h

r h = r 0 . 1 + 2 g h v 0 2 - 1 4

Resposta

a)

v h = v 0 2 + 2 g h

b)

r v = r 0 v 0 v

c)

r h = r 0 . 1 + 2 g h v 0 2 - 1 4

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