Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

Equação de Bernoulli

Na figura está representado um grande reservatório de água de altura H , com uma tubulação horizontal de raio R 1 = 3,0   c m acoplada na lateral . Esta tubulação muda para uma tubulação vertical de menor raio na saída 2, R 2 = 1,00   c m , onde a água escoa para a atmosfera. Na figura L = 2,0   m .

  1. Determine a altura H   para que a velocidade na saída 2da tubulação seja de 10   m / s .
  2. Calcule a diferença de pressão entre as saídas 1 e 2 da figura, ∆ p = p 1 - p 2 .(Valem os valores do item a).
  3. Quando a água escoa pra atmosfera no ponto 2, observa-se que o diâmetro do filete de água diminui enquanto cai. Calcule a distância que a água deve cai pra que o raio diminuía de 1,00 c m ( na saída 2) para 0,80 c m .( Valem os valores do item a).

Passo 1

a):

Vamos aplicar Bernoulli entre o ponto mais alto do reservatório e entre o ponto onde a água escoa:

p 0 + ρ g h 2 + ρ v 2 2 2 = p 0 + ρ g h 1 + ρ v 1 2 2

No ponto mais alto do reservatório, a velocidade v 2 é nula. Além disso, vamos considerar a altura h 2 = 0 como a altura mais baixa de todas, a altura do cano que libera água pra atmosfera.

Além disso:

h 1 = H + L

:

p 0 + ρ g h 1 + ρ v 1 2 2 = p 0 + ρ g h 2 + ρ v 2 2 2

ρ g H + L = ρ v 1 2 2

H = v 1 2 2 g - L → H = 3,0 m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Vamos primeiro aplicar a equação da continuidade entre o ponto final onde a água desce e o ponto onde tem um x , na figura. Isso é:

A 1 v 1 = A 2 v 2   → v 1 = A 2 v 2 A 1

A área A 1 é dada por:

A 2 = π R 2 2 = π . 1,0 x 10 - 2 2

E a área A 1 é dada por:

A 1 = π R 1 2 = π . 3,0 x 10 - 2 2

Então:

v 1 = 1,0 x 10 - 2 2 3,0 x 10 - 2 2 . v 2 = v 2 9

Bernoulli entre os pontos 1 e 2:

p 1 + ρ v 1 2 2 + ρ g h 1 = p 0 + 1 2   ρ v 2 2 + ρ g h 2

p 1 - p 0 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2 - ρ g L

p 1 - p 0 = 1 2 ρ . 1 - 1 3 4 v 2 2 - ρ g L

∆ p = 4,92 - 2 x 10 4 P a = 2,94 x 10 4 P a

Passo 3

c):

Vamos usar a equação da continuidade entre 1 e 2, sendo 1 o ponto inicial( onde o raio é 1,00 c m , e 2 é onde o raio tem 0,8 c m ) :

A 1 v 1 = A 2 v 2 → v 2 = A 1 v 1 A 2 = 1,00 x 10 - 2 2 v 2 0,8 x 10 - 2 2 = v 2 0,64

Agora vamos aplicar Bernoulli entre esses dois pontos:

ρ v 2 2 2 = ρ v 1 2 2 + ρ g h   → 2 g h = v 2 2 - v 1 2

Lembrando que v 2 = 10   m / s . Então:

20 h = 10 2 - 10 2 0,64 → h = 7,2   m

Resposta

a):

H = 3,0 m

b):

∆ p = 2,94 x 10 4 P a

c):

h = 7,2   m

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