Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

Equação de Bernoulli

Quando um tubo retilíneo e outro com um cotovelo são acoplados a uma tubulação onde flui uma correnteza horizontal de água com velocidade v , o nível da água no interior dos tubos começa a subir até que a pressão externa seja suficiente para estagnar o fluxo de água dentro dos tubos acoplados. Nesta situação, a diferença entre os níveis de água nos dois tubos verticais é h = 20 c m , como ilustrado na figura. Considere um fluido ideal e g = 10 m / s 2

  1. Calcule a velocidade v da correnteza.
  2. Considere que a área transversal, A , é reduzida pela metade e a vazão mantida. Nesta situação, qual o novo valor de h ?

Passo 1

a):

Bom, pra resolver essa questão. Nós vamos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A , o inicio do tubo em forma de cotovelo que está submerso, e B , a superfície do fluido que está nesse mesmo tubo.

Beleza, então a equação de Bernoulli será:

P A + ρ g h A + ρ v A 2 2 = P B + ρ g h B + ρ v B 2 2

A pressão de A vai ser igual a coluna de fluido que existe acima dele mais a pressão atmosférica. Então:

P A = P 0 + ρ g x + y

Vamos considerar o nível zero de altura passando pelo ponto A . Então:

h A = 0   → ρ g h A = 0

A pressão do ponto B vai ser iguala pressão atmosférica. E a altura vai ser a soma de todas as alturas:

P B = P 0

h B = x + y + h   → ρ g h B = ρ g x + y + h

Além disso, como o ponto B está bem encima da superfície do líquido, a velocidade ali será zero;

v B = 0

Jogando todo mundo na equação de Bernoulli e chamando v A = v :

P A + ρ g h A + ρ v A 2 2 = P B + ρ g h B + ρ v B 2 2

P 0 + ρ g x + y + 0 + ρ v 2 2 = P 0 + ρ g x + y + h + 0

ρ v 2 2 = ρ g x + y + h - ρ g x + y = ρ g h

v 2 = 2 g h   → v = 2 g h

Aplicando os valores do enunciado:

v = 2 g h = 2.10.20 x 10 - 2 = 2 m / s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

A ultima expressão que a gente achou foi:

v = 2 g h

Como vemos, tem uma relação entre a velocidade e a altura. Entaõ:

h = v 2 2 g

Show! Agora, com a diminuição da área da seção transversal, qual será a nova velocidade do fluido? A gente precisa usar os conceitos de continuidade. A fórmula da continuidade é:

A 1 v 1 = A 2 v 2   → v 2 = A 1 v 1 A 2 = A 1 v 1 A 1 2 = 2 v 1 = 4 m / s

Então a redução da área pela metade fez a velocidade duplicar. Faz sentido né?

Então, a nova altura vai ser:

h 2 = v 2 2 2 g = 4 2 2.10 = 16 20 = 0,8 m = 80 c m

Resposta

a):

v = 2 m / s

b):

h 2 = 80 c m

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