Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

UFRJ-P1-2013.1-D2

O medidor de Venturi é usado para se obter a velocidade de escoamento estacionário de um fluido não viscoso em uma tubulação. Considere um fluido incompressível, de densidade ρ f , que escoa em uma tubulação com área ade seção transversal A 1 . Na região de estrangulamento, a área é reduzida pra A 2 , e um tubo manométrico é instalado como mostrado abaixo (vide figura). Suponha que o liquido do manômetro também seja incompressível e tenha densidade ρ l . NÃO despreze termos como y 2 - y 1 .

  1. Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidade no ponto 1 v 1 .
  2. Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
  3. Determine a velocidade de escoamento v 1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.

Passo 1

a)

Aqui a gente vai ter que aplicar Bernoulli entre os pontos 1 e 2.

Quando a gente usa Bernoulli, a gente precisa definir um ponto de altura 0 .

O ponto que usamos já tá definido ali na figura, é o nível que saem as alturas y 1 e y 2 .

Ok, então o resto é só aplicar os valores de pressão altura e velocidade:

ρ f g y 1 + ρ f v 1 2 2 + p 1 = ρ f g y 2 + ρ f v 2 2 2 + p 2

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f 2 ( v 2 2 - v 1 2 )

Beleza? Só que a gente não sabe v 2 . Então precisamos usar a equação da continuidade, certo?

A 1 v 1 = A 2 v 2   → v 2 = A 1 v 1 A 2

Então:

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f 2 A 1 v 1 A 2 2 - v 1 2

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f 2 A 1 v 1 A 2 2 - v 1 2

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f v 1 2 2 A 1 A 2 2 - 1

Pronto (:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

A gente vai usar o principio de Stevin pra resolver isso. No nível de altura 0 , as pressões são iguais pois tem a mesma altura. Então a pressão do lado esquerdo é a mesma que do lado direito:

p e = p d

A pressão do lado esquerdo vale:

p e = p 1 + ρ f g y 1

OU seja, é a soma da pressão 1 mais a pressão devido a coluna de líquido azul.

Preste atenção nisso, pois temos dois fluidos ali.

E a pressão do lado direito vale:

p d = p 2 + ρ f g y 2 - h + ρ l g h

Ou seja, é a soma da pressão 2, mais a pressão causada pela coluna de fluido ρ f e a coluna de fluido de liquido ρ l .

A altura da coluna de liquido ρ f é y 2 - h (veja na figura).

A altura da coluna de ρ l é h .

Passo 3

Vamos igualar as duas:

ρ e = ρ d

p 1 + ρ f g y 1 = p 2 + ρ f g y 2 - h + ρ l g h

p 1 - p 2 = - ρ f g y 1 + ρ f g y 2 - h + ρ l g h

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + h . g ρ l - ρ f

h = p 1 - p 2 + ρ f g y 1 - y 2 ρ l - ρ f g

Passo 4

c)

Temos duas expressões pra p 1 - p 2 e uma delas tem v 1 . Vamos igualar as duas:

p 1 - p 2 = p 1 - p 2

ρ f g y 2 - y 1 + ρ f v 1 2 2 A 1 A 2 2 - 1 = ρ f g y 2 - y 1 + h . g ρ l - ρ f

ρ f v 1 2 2 A 1 A 2 2 - 1 = h . g ρ l - ρ f

v 1 2 = 2 g h ( ρ l - ρ f ) ρ f A 1 A 2 2 - 1

v 1 = A 2 2 ρ l - ρ f g h ρ f A 1 2 - A 2 2

Resposta

a)

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f v 1 2 2 A 1 A 2 2 - 1

b)

h = p 1 - p 2 + ρ f g y 1 - y 2 ρ l - ρ f g

c)

v 1 = A 2 2 ρ l - ρ f g h ρ f A 1 2 - A 2 2

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