Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

UFRJ-Discursiva 1 - P1.2015

Dois tanques abertos estão cheios de um mesmo fluido de densidade ρ constante, como ilustrado na figura. Um tubo horizontal tem uma extremidade conectada ao fundo do primeiro tanque e outra extremidade aberta, de modo que o fluido pode escoar para fora do tanque. O tubo possui um estrangulamento ( C ) onde a área da seção reta é a metade da área nas extremidades ( B e D ). Conectamos com um tubo em U o estrangulamento ao segundo tanque, de modo que a extremidade do tubo fica imersa no fluido. Com isso uma coluna de fluido preenche o tubo até uma a altura h 2 , após atingido o equilíbrio. Considere que a densidade do ar entre os pontos C e   E é suficientemente pequena para desprezarmos variações de pressão com a altura. Considere também que as áreas das superfícies de fluido nos dois tanques são muito maiores que as das seções retas do tubo horizontal, que o escoamento do fluido através do mesmo é estacionário e que a aceleração da gravidade g e a pressão atmosférica ρ 0 são constantes e conhecidas em todos os pontos da figura.

  1. Calcule a velocidade de escoamento do fluido no ponto D indicado na figura.
  2. Calcule a velocidade do escoamento no ponto C .
  3. Calcule a pressão manométrica (diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica) no ponto C .
  4. Calcule a altura h 2 da coluna de fluido em termos da altura h 1 .

Passo 1

a)

Aqui a gente pode aplicar Bernoulli entre os pontos A e D. Lembrando que ,na superfície de um tanque com dimensões muito maiores que as dimensões dos encanamentos, podemos desprezar a velocidade do fluido.

Assim:

ρ g h A + ρ v A 2 2 + P A = ρ g h D + ρ v D 2 2 + P D

Vamos considerar como o nível zero de altura o nível do ponto D. Logo, D tem altura zero e A tem altura h 1 . Como ambos os pontos estão abertos pra atmosfera, a pressão dos dois é igual à pressão atmosférica, que vamos chamar de P 0 . Logo:

ρ g h 1 + 0 + P 0 = 0 + ρ v D 2 2 + P 0   v D = 2 g h 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Se a gente sabe a velocidade no ponto D e a relação entre as áreas das seções transversais no ponto D e C , a gente pode aplicar a equação da continuidade entre os pontos.

Então, como a vazão se conserva, temos:

A D v D = A C v C

Só que o enunciado nos diz que a área de C é a metade da área de D , logo:

A D v D = A D 2 v c   v C = 2 v D = 2 2 g h 1

Passo 3

c)

A gente pode escolher aplicar Bernoulli entre D e C ou entre A e C . Vamos escolher entre D e C :

Aplicando:

ρ v c 2 2 + P C = ρ v D 2 2 + P D

Repare que não colocamos as energias das alturas porque são iguais ( mesma altura).

A gente já descobriu essas duas velocidades e a pressão em D , então:

P C + ρ 2 2 g h 1 2 2 = ρ 2 g h 1 2 2 + P 0

P c = ρ g h 1 - 4 ρ g h 1 + P 0 = - 3 ρ g h 1 + P 0

Mas a gente quer a diferença dessa pressão com a pressão atmosférica ( P 0 ) , logo:

P m a n = P a b s - P 0 = - 3 ρ g h 1

Passo 4

d)

Agora nós queremos achar o valor de h 2 . Essa é a opção mais difícil. Vamos esquecer um pouco de Bernoulli aqui e lembrar de stevin.

A coluna de líquido de altura h 2 está em equilíbrio. Isso quer dizer a soma da pressão do ponto E mais a pressão exercida pela coluna de líquido tem que ser igual à pressão atmosférica. Por quê? Bom, a pressão atmosférica empurra a coluna de fluido de baixo pra cima, assim como as outras duas pressões empurram de cima pra baixo. Elas precisam ser iguais pra que o sistema entre em equilíbrio, pois se não fossem, haveria uma força resultante e não haveria equilíbrio.

Vamos lá:

P E + ρ g h 2 = P 0   P E = P 0 - ρ g h 2

Só que como o sistema está em equilíbrio, a pressão em E tem que ser a mesma que em C . Perceba que os pontos estão ligados apenas por um cano com ar. Como o ar está parado, ele apenas comunica a pressão de um ponto ao outro. Logo:

P E = P C = P 0 - ρ g h 2 = - 3 ρ g h 1 + P 0

P 0 - ρ g h 2 = - 3 ρ g h 1 + P 0

h 2 = 3 h 1

Resposta

a)

v D = 2 g h 1

b)

v C = 2 v D = 2 2 g h 1

c)

P m a n = P a b s - P 0 = - 3 ρ g h 1

d)

h 2 = 3 h 1

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