Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

PUCRIO-P1-2012.1-Q3

A figura abaixo mostra um garrafão de água mineral, hermeticamente fechado, que se encontra cheio até uma altura H = 0,30   m acima da boca da torneira. A área da boca da torneira é de 0,60   c m 2 ( A 0 = 0,60 × 10 - 4   m 2 ), muito menor do que a área da superfície da água dentro do garrafão. O ar acima da superfície da água está a uma pressão menor do que a pressão atmosférica, pressão manométrica ρ m a n = - 2,0 × 10 3   P a . Considere o escoamento ideal, a aceleração da gravidade g = 10   m / s 2 e ρ á g u a = 1,00 × 10 3   k g / m 3 .

  1. Determine a velocidade com que o fluido escoa.
  2. Calcule a vazão da torneira e determine o tempo necessário para se encher um copo de 300   m l (volume igual a 0,30 × 10 - 3   m 3 ).
  3. Ao sair da torneira, o jato de água fica mais fino durante a queda. Determine a área do jato após cair de uma altura h = 0,40   m abaixo da boca da torneira.

Passo 1

a)

Vamos calcular a velocidade de escoamento após o fluido percorrer a altura H do garrafão.

Vamos usar a equação de Bernoulli:

P 1 + ρ g h 1 + ρ v 1 2 2 = P 2 + ρ g h 2 + ρ v 2 2 2

Sendo que h 2 = 0 , h 1 = H , , P 2 = P a t m = 10 5 P a e v 1 = 0 :

Pra encontramos P 1 precisamos usar a definição de pressão manométrica:

P m a n = P a b s - P a t m → P a b s = P m a n + P a t m

Logo:

P 1 = - 2 x 10 3 + 10 5

Então, a equação de Bernoulli fica:

- 2 x 10 3 + 10 5 + 10 3 . 10 . H + ρ . 0 2 = 10 5 + 0 + ρ v 2 2 2

- 2,0 x 10 3 + 10 5 + 3 x 10 3 = 10 5 + 10 3 v 2 2 2

1 x 10 3 = 10 3 v 2 2 2 → v 2 = 2 ≅ 1,4 m / s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Como a gente já tem a velocidade, fica fácil calcular a vazão, já que vazão é velocidade vezes a área:

V ' = A . v = 0,60 x 10 - 4 . 1,4 = 0,84 x 10 - 4

E essa é a taxa de variação do volume. Pra descobrirmos o tempo necessário pra se encher o copo, podemos usar a relação:

∆ t = V V ' = 0,3 x 10 - 3 0,84 x 10 - 4 ≅ 3,6 s

Passo 3

c)

Aqui iremos usar o princípio da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2 = V ' = c t e

O que acontece nessa situação? Bom, enquanto o fluido vai caindo, a sua velocidade vai aumentando. Como o princípio da continuidade deve ser respeitado, o aumento da velocidade gera uma diminuição da área.

Bom, então vamos calcular a velocidade do fluido quando h = 0,40 m .:

Vamos aplicar Bernoulli entre o ponto da torneira e o ponto de altura h = - 0,4 m .

Vamos aplicar, então, Bernoulli entre a torneira e o ponto de altura h = - 0,4 m . Vamos considerar, então, o ponto da torneira como h = 0 .   ( E é por isso como que colocamos a outra altura como negativa).

10 5 + 10 3 2 2 2 = - 10 3 . 10.0,4 + 10 5 + 10 3 v 2 2 2     ↔ 10 3 + 4 x 10 3 = 10 3 v 2 2 2

5 x 10 3 = 10 3 v 2 2 2 → v 2 = 10 = 3,16 m / s

Então, vamos usar agora aquela equação do início:

A 2 v 2 = 0,84 x 10 - 4 → A 2 = 0,84 x 10 - 4 3,16 ≅ 0,26 x 10 - 4 = 2,6 x 10 - 5 m 2

Resposta

a)

v 2 ≅ 1,4 m / s

b)

∆ t = V V ' ≅ 3,6 s

c)

A 2 = 2,6 x 10 - 5 m 2

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