Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

Equação de Bernoulli

II. A figura abaixo mostra um medidor Venturi, usado para medir a velocidade v 1 de um fluido num cano. Ele consiste de um segmento de cano de diâmetro d 1 com um estreitamento de diâmetro d 2 e um manômetro que mede a diferença de pressão entre a parte mais larga e mais estreita. Aplicando a equação da continuidade e a Equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2,

b) encontre a expressão da velocidade v 1 em função dos diâmetros d 1   e   d 2 , da massa específica ρ do fluido e da diferença de pressão ( p 1 - p 2 ).

c) Suponha que o fluido seja água doce, que o diâmetro do cano seja 4,0   c m e o do estreitamento 3,0   c m , e que a diferença de pressão seja 10   k P a . Calcule a vazão de água em m 3 / s e em l i t r o s / s ?

Passo 1

b):

Vamos aplicar a equação de Bernoulli nos dois pontos:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

Como eles estão quase na mesma altura:

h 1 = h 2

Isso quer dizer que as contribuições das alturas não importam e podemos escrever:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas queremos descobrir v 1 . Então temos que escrever v 2 em função de v 1 . Pra isso, vamos usar o principio da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

v 2 = A 1 A 2 v 1

Com:

A 2 = d 2 2 2 π = d 2 2 4 π

A 1 = d 1 2 2 π = d 1 2 4 π

Então:

v 2 = d 1 2 d 2 2 v 1

Logo:

p 1 - p 2 = ρ 2 v 1 2 d 1 4 d 2 4 - 1

v 1 = 2 p 1 - p 2 ρ d 1 4 d 2 4 - 1

Passo 3

c):

É só a gente aplicar os valores na formula que montamos antes pra achar v 1 , e depois multiplicarmos esse valor pelo valor da área A 1 :

v 1 = 2 x 10 4 10 4 4 3 2 - 1 = 2,52   m / s

Assim:

V ' = A 1 v 1 = π 0,02 2 . 2,52 = 3,16 x 10 - 3 m 3 / s = 3,16 L / s

Já que 1 L = 1 m - 3 .

Resposta

a):

v 1 = 2 p 1 - p 2 ρ d 1 4 d 2 4 - 1

b):

V ' = 3,16 L / s

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