Considere o sistema da figura ao lado. O bloco de forma triangular possui massa M e o que está sobre ele, m . A rampa do bloco de baixo faz um ângulo θ com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de massa M e a superfície do piso é μ 1 . Existe atrito entre os dois blocos, de coeficiente μ 2 (estático igual ao cinético), mas este é pequeno e insuficiente para manter o bloco de massa m parado sobre o de baixo, se o de baixo estiver parado. Uma força F é aplicada sobre o bloco de baixo, como na figura, para acelerá-lo de tal forma, que o bloco de cima não deslize sobre o de baixo, enquanto o conjunto se movimenta sobre o piso. Uma força F é feita de forma que o conjunto se movimente sobre o piso, mas o bloco de cima continue sem se movimentar sobre o de baixo, com a força de atrito estático entre os blocos estando em seu limite máximo (o bloco de cima está na iminência de começar a DESCER sobre o de baixo). Dê suas respostas em termos de g ,   M ,   m ,   μ 1 ,   μ 2   e   θ .

P2.4 – Determine o valor mínimo da força F .

Passo 1

Faaaala meu povoo! Tudo certinho com vocês?? Bora lá resolver mais um probleminha!

Nesse item é pedido para calcular o valor mínimo da força F do nosso conjunto, então vem comigo!

Para calcular o valor da força F , no caso de o sistema ter a aceleração:

a = g sin ⁡ θ - μ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ +   μ 2 sin ⁡ θ   ,

(item 2.3 da nossa questão), temos que analisar o corpo de massa M . Como acontece com o corpo de massa m , não há aceleração na direção vertical para M . Considerando positivo para cima:

N 1 + - m g + - F a 1 sin ⁡ θ + - N cos ⁡ θ + 0 + 0 = 0

Lembrando que F a 1 = μ 2 N e usado o valor de N (item 2.2 da nossa questão) dado por:

N = m g cos ⁡ θ +   μ 2 N sin ⁡ θ

Assim, temos:

N 1 = m g + N cos ⁡ θ +   μ 2 N sin ⁡ θ

= g M + m cos ⁡ θ + μ 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + μ 2 sin ⁡ θ

= ( M + m ) g

Como seria de se esperar, a normal N 1 sustenta o peso dos dois blocos. Na horizontal, por sua vez, temos, considerando positivo para a esquerda, sendo:

0 + 0 + F a 1 cos ⁡ θ + - N sin ⁡ θ + - F a 2 + F = M a

Ou,

F = M a + N sin ⁡ θ - F a 1 cos ⁡ θ + F a 2

Agora temos o seguinte meus jovens, o valor de F a 2 = μ 2 N 1 , onde o N 1 já foi calculado anteriormente, sendo:

N 1 = ( M + m ) g

Se liga que também já temos o valor de a que foi calculado no item 2.3 da nossa questão e vale:

a = g sin ⁡ θ - μ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ - μ 2 s in ⁡ θ

Finalmente, substituindo esses valores na equação:   F = M a + N sin ⁡ θ - F a 1 cos ⁡ θ + F a 2 , teremos:

F = M g sin ⁡ θ - μ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ - μ 2 sin ⁡ θ + m g sin ⁡ θ - μ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ - μ 2 sin ⁡ θ + μ 1 M + m g

Que simplificando, temos:

F = M + m g sin ⁡ θ - μ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ - μ 2 sin ⁡ θ + μ 1

E tá aí nossa a nossa força F , te ajudei?? Então te vejo na próxima!

Resposta

F = M + m g sin ⁡ θ - μ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ - μ 2 sin ⁡ θ + μ 1

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